삼각형의 닮음 조건과 평행선이 만드는 선분의 비

중2 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

닮음 단원의 문제는 대부분 "닮은 두 삼각형을 찾고, 대응변의 비를 세운다"는 한 줄로 요약됩니다. 어려운 점은 닮은 삼각형이 겹쳐 있거나 뒤집혀 있어서 대응하는 꼭짓점을 잘못 짝짓기 쉽다는 것입니다. 평행선이 있는 그림에서는 동위각과 엇각이 닮음의 근거가 되므로, 평행선을 보는 순간 닮은 삼각형을 떠올리는 습관이 필요합니다.

이 글에서는 삼각형의 닮음 조건 → 삼각형과 평행선 → 두 변의 중점을 연결한 선분 → 평행선 사이의 선분의 비 → 각의 이등분선과 비 순서로 정리하고, 닮음 그림을 시험지에 넣을 때 챙길 점을 덧붙입니다.

삼각형의 닮음 조건

한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소한 도형과 합동인 도형을 처음 도형과 닮음이라 하고, △ABC ∽ △DEF 로 씁니다. 기호를 쓸 때는 대응하는 꼭짓점의 순서를 맞춰 적어야 합니다. △ABC ∽ △DEF 라고 쓰면 A와 D, B와 E, C와 F가 대응한다는 뜻이고, 대응변의 길이의 비(닮음비)는 AB : DE = BC : EF = CA : FD 로 일정합니다.

AA 닮음에 변의 조건이 없는 이유는, 두 각이 같으면 나머지 한 각도 같아 모양이 완전히 정해지기 때문입니다. 크기만 다를 수 있으므로 합동이 아니라 닮음입니다. 실제 문제에서는 AA 닮음이 가장 많이 쓰이고, 그 근거는 공통인 각, 맞꼭지각, 평행선의 동위각·엇각, 직각입니다.

공통인 각이 있는 겹친 삼각형을 예로 들어 봅니다. △ABC의 변 AB 위에 점 D가 있고 ∠ACD = ∠ABC 이며 AD = 4, DB = 12 입니다. △ACD와 △ABC는 ∠A가 공통이고 ∠ACD = ∠ABC 이므로 AA 닮음입니다. 대응을 맞추면 △ACD ∽ △ABC (A↔A, C↔B, D↔C)이므로 AC : AB = AD : AC 이고, AC × AC = 4 × 16 = 64 입니다. 제곱해서 64가 되는 양수는 8이므로 AC = 8 입니다. 꼭짓점 순서를 C↔C로 잘못 짝지으면 AC : AC 같은 의미 없는 비가 나오므로, 같은 각끼리 먼저 짝짓고 나머지를 맞춥니다.

삼각형과 평행선: A자형과 모래시계형

△ABC에서 변 AB, AC 위의 점 D, E에 대해 DE ∥ BC 이면 동위각이 같아 △ADE ∽ △ABC (AA 닮음)입니다. 여기서 두 가지 비가 나옵니다.

• AD : AB = AE : AC = DE : BC (작은 삼각형과 큰 삼각형의 닮음비)
• AD : DB = AE : EC (두 변이 평행선에 의해 나뉜 비)

자주 하는 실수는 AD : DB = DE : BC 로 쓰는 것입니다. DE와 BC는 두 삼각형의 대응변이므로 반드시 AD : AB 와 짝지어야 합니다. 거꾸로 AD : AB = AE : AC (또는 AD : DB = AE : EC)이면 DE ∥ BC 입니다. 평행한지 확인하는 문제는 이 역을 씁니다.

평행한 두 변이 꼭짓점을 사이에 두고 반대쪽에 있으면 모래시계 모양이 됩니다. AB ∥ CD 이고 AD와 BC가 점 O에서 만나면, 엇각과 맞꼭지각 때문에 △OAB ∽ △ODC 입니다. 이때 대응은 A↔D, B↔C 로 엇갈리므로 OA : OD = OB : OC = AB : DC 입니다.

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분

△ABC에서 두 변 AB, AC의 중점을 M, N이라 하면 MN ∥ BC 이고 MN = ½BC 입니다. AM : AB = AN : AC = 1 : 2 이고 ∠A가 공통이므로 △AMN ∽ △ABC (SAS 닮음)이고, 닮음비가 1 : 2 이므로 MN = ½BC, 동위각 ∠AMN = ∠ABC 이므로 MN ∥ BC 입니다. 앞의 A자형에서 D, E가 중점인 특별한 경우입니다. 이 성질을 부르는 "삼각형의 중점연결정리"는 원문에서 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다고 한 용어입니다(도형과 측정 고려 사항).

역도 자주 쓰입니다. AB의 중점 M을 지나고 BC에 평행한 직선이 AC와 만나는 점 N은 AC의 중점입니다. 이 두 성질을 이용하면 다음 결과를 얻습니다.

• 사각형의 네 변의 중점을 이으면 평행사변형이 됩니다. 대각선 AC로 나눈 두 삼각형에서 PQ ∥ AC ∥ SR, PQ = SR = ½AC 이기 때문입니다. 둘레는 두 대각선의 길이의 합과 같아서, AC = 12, BD = 9 이면 둘레는 21 입니다.
• 사다리꼴의 두 옆변의 중점을 이은 선분은 밑변에 평행하고, 길이는 두 밑변의 합의 절반입니다. 대각선 AC를 그어 두 삼각형으로 나누면 보입니다. AD = 6, BC = 10 이면 두 중점을 이은 선분은 (6 + 10) ÷ 2 = 8 입니다.

평행선 사이의 선분의 길이의 비

세 평행선 l ∥ m ∥ n 이 두 직선과 각각 A, B, C와 D, E, F에서 만나면 AB : BC = DE : EF 입니다. 점 A를 지나고 DF에 평행한 직선을 그어 m, n과 만나는 점을 G, H라 하면 AG = DE, GH = EF (평행사변형의 대변)이고, △ACH에서 BG ∥ CH 이므로 AB : BC = AG : GH 가 되어 증명됩니다. 두 직선이 평행선 사이에서 만나더라도 같은 비가 성립합니다.

사다리꼴의 두 대각선의 교점을 지나고 밑변에 평행한 선분도 이 원리로 구합니다. AD ∥ BC, AD = 6, BC = 12 인 사다리꼴에서 두 대각선의 교점 O를 지나고 밑변에 평행한 직선이 AB, DC와 만나는 점을 E, F라 합니다. 모래시계형 △OAD ∽ △OCB 에서 AO : OC = 6 : 12 = 1 : 2 이므로 △ABC에서 EO : BC = AO : AC = 1 : 3, EO = 4 입니다. 같은 방법으로 OF = 4 이므로 EF = 8 입니다.

삼각형의 각의 이등분선과 선분의 비

△ABC에서 ∠A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 하면 AB : AC = BD : DC 입니다. 이 성질은 원문에 따로 이름이 적혀 있지 않으며, 삼각형과 평행선에서 생기는 선분의 길이의 비([9수03-14])에서 이어지는 내용입니다. 그래서 공식처럼 외우기보다 평행선을 그어 이끌어 내는 과정을 함께 익히는 편이 좋습니다.

1. 점 C를 지나고 AD에 평행한 직선이 BA의 연장선과 만나는 점을 E라 합니다.
2. AD ∥ EC 이므로 ∠ACE = ∠CAD (엇각), ∠AEC = ∠BAD (동위각)입니다. ∠BAD = ∠CAD 이므로 ∠ACE = ∠AEC 이고 △ACE는 AE = AC 인 이등변삼각형입니다.
3. △BCE에서 AD ∥ EC 이므로 BA : AE = BD : DC 입니다. AE = AC 를 넣으면 AB : AC = BD : DC 입니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 평행 표시는 화살표로 분명하게 넣습니다. 닮음 문제에서 평행은 가장 중요한 조건입니다. 문장에만 쓰고 그림에 표시하지 않으면 학생이 어느 선이 평행한지 찾느라 시간을 씁니다.
• 길이는 실제 비율대로 그립니다. AD : DB = 2 : 1 인데 그림에서 D가 중점 근처에 있으면 학생이 그림을 보고 잘못 추정합니다. 도판 도구로 값을 넣으면 비율대로 그려지므로, 구하는 길이만 문자로 바꾸면 됩니다.
• 겹친 닮은 삼각형은 같은 각 표시로 대응을 알려 줍니다. 공통인 각을 이용한 닮음에서 ∠ACD = ∠ABC 처럼 같은 각에 같은 호 표시를 넣지 않으면 학생이 대응 꼭짓점을 찾지 못합니다.
• 중점 표시는 길이 눈금으로 넣습니다. "M은 AB의 중점"을 그림으로 전하려면 AM, MB에 같은 눈금을 넣습니다. 두 변의 중점이 함께 있으면 눈금 개수를 달리해 AM = AN 으로 오해하지 않게 합니다.
• 각의 이등분선은 두 각에 같은 표시를 넣습니다. 이등분선인지 아닌지 그림으로 구별되지 않으면 AB : AC = BD : DC 를 써도 되는지 판단할 수 없습니다.

자주 묻는 질문

합동인 두 삼각형도 닮음인가요?

네. 합동은 닮음비가 1 : 1 인 닮음입니다. 그래서 합동인 도형은 항상 닮음이지만, 닮은 도형이 항상 합동인 것은 아닙니다.

DE ∥ BC 일 때 DE : BC 를 AD : DB 로 구하면 왜 틀리나요?

DE와 BC는 닮은 두 삼각형 △ADE와 △ABC의 대응변이므로, 같은 두 삼각형의 대응변인 AD와 AB의 비와 같아야 합니다. DB는 큰 삼각형의 변 AB의 일부일 뿐 어느 삼각형의 변도 아니므로 DE : BC 와 짝지을 수 없습니다.

각의 이등분선 성질은 이등변삼각형에서도 성립하나요?

성립합니다. AB = AC 이면 BD : DC = 1 : 1 이 되어 D가 BC의 중점이 됩니다. 이는 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선이 밑변을 이등분한다는 성질과 같습니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.