삼각형의 외심·내심·무게중심 한 번에 정리

중2 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

외심, 내심([9수03-10])과 무게중심은 학생들이 가장 많이 섞어 쓰는 세 점입니다. 세 점 모두 "세 선이 한 점에서 만난다"는 공통점이 있어서, 어떤 선의 교점인지와 그 점이 무엇까지의 거리가 같은지를 짝지어 기억하지 않으면 계산 문제에서 조건을 바꿔 쓰기 쉽습니다.

이 글에서는 세 점을 어떤 선의 교점인가 → 무엇이 같은가 → 어디에 생기는가 → 자주 나오는 계산 순서로 정리하고, 시험지에 넣을 그림을 만들 때 챙겨야 할 표시까지 함께 다룹니다.

세 점을 한 표로 비교하기

먼저 세 점을 나란히 놓고 보면 차이가 분명해집니다. 외심과 내심은 원과 연결되고(외접원·내접원의 중심), 무게중심은 원과 관계가 없고 길이의 비와 연결됩니다.

외심: 세 꼭짓점에서 같은 거리

변의 수직이등분선 위의 점은 그 변의 양 끝점에서 같은 거리에 있습니다. 두 변의 수직이등분선이 만나는 점은 세 꼭짓점 모두에서 같은 거리에 있으므로, 나머지 한 변의 수직이등분선도 그 점을 지납니다. 이 점이 외심이고, 외심을 중심으로 세 꼭짓점을 지나는 원이 외접원입니다.

외심에서 자주 나오는 계산은 각의 크기입니다. OA = OB = OC 이므로 삼각형 OAB, OBC, OCA는 모두 이등변삼각형이 되고, 밑각이 같다는 성질로 각을 구합니다. 특히 외심 O에서 ∠BOC = 2∠A 가 성립합니다(∠A가 예각일 때). 이는 뒤에 배우는 원주각의 성질([9수03-19])에서 "중심각은 원주각의 2배"로 다시 나옵니다.

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점입니다. 그래서 빗변의 중점에서 세 꼭짓점까지의 거리가 모두 빗변의 절반이 되고, 외접원의 반지름은 빗변 길이의 1/2입니다. 이 성질은 "직각삼각형에서 빗변의 중점과 직각인 꼭짓점을 이은 선분의 길이"를 묻는 문제로 자주 나옵니다.

내심: 세 변에서 같은 거리

각의 이등분선 위의 점은 그 각을 이루는 두 변에서 같은 거리에 있습니다. 두 내각의 이등분선이 만나는 점은 세 변 모두에서 같은 거리에 있으므로 세 번째 각의 이등분선도 지나고, 이 점이 내심입니다. 내심에서 각 변에 내린 수선의 길이가 내접원의 반지름 r입니다.

내심에서 가장 많이 쓰는 식은 넓이 공식입니다. 삼각형을 내심과 세 꼭짓점을 이어 세 조각으로 나누면, 각 조각의 높이가 모두 r이므로

(삼각형의 넓이) = ½ × r × (세 변의 길이의 합)

이 됩니다. 넓이와 세 변을 알면 내접원의 반지름을, 반지름과 세 변을 알면 넓이를 구할 수 있습니다. 또 내심 I에 대해 ∠BIC = 90° + ½∠A 가 성립하는데, 이는 삼각형 IBC의 내각의 합에서 ½(∠B + ∠C) = 90° − ½∠A 를 빼서 얻습니다.

무게중심: 중선을 2 : 1로 나누는 점

중선은 꼭짓점과 마주 보는 변의 중점을 이은 선분입니다. 세 중선은 한 점에서 만나고, 그 점은 각 중선을 꼭짓점 쪽부터 2 : 1로 나눕니다. 이 점이 무게중심 G입니다. 종이로 삼각형을 오려 무게중심을 연필 끝에 올리면 균형이 맞는다는 데서 이름이 붙었습니다.

넓이 문제에서 무게중심은 강력합니다. 세 중선은 삼각형을 넓이가 같은 여섯 개의 삼각형으로 나눕니다. 그래서 무게중심과 두 꼭짓점을 이은 삼각형 GAB, GBC, GCA의 넓이는 각각 전체의 1/3이고, 작은 조각 하나는 전체의 1/6입니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 보조선을 어디까지 보여 줄지 정합니다. 외심 문제에서 수직이등분선을 모두 그리면 답이 보이는 경우가 있습니다. 문제에 필요한 선만 남기고, 나머지는 학생이 그리게 두는 편이 좋습니다.
• 같은 길이·같은 각 표시를 통일합니다. 외심 문제는 OA, OB, OC에 같은 개수의 눈금 표시를, 내심 문제는 이등분된 각에 같은 호 표시를 넣어야 조건이 그림으로 전달됩니다.
• 둔각삼각형의 외심은 삼각형 밖에 그립니다. 모든 삼각형을 예각으로 그리면 학생이 "외심은 항상 안에 있다"고 오해할 수 있습니다.
• 구하는 값은 x나 ?로 바꿉니다. 그림에 실제 값이 남으면 정답이 드러납니다. 도판 도구에서 모르는 값으로 바꾸면 그 자리에 문자가 들어갑니다.
• 점의 이름 위치를 확인합니다. O, I, G가 선이나 원과 겹치면 인쇄했을 때 읽기 어렵습니다. 글자가 선과 겹치지 않는지 확대해서 봅니다.

자주 묻는 질문

정삼각형에서는 세 점이 모두 같은가요?

네. 정삼각형은 각 변의 수직이등분선, 각의 이등분선, 중선이 모두 같은 선이어서 외심·내심·무게중심이 한 점에서 겹칩니다. 이등변삼각형에서는 세 점이 모두 꼭지각의 이등분선 위에 놓입니다.

외심은 왜 둔각삼각형에서 밖으로 나가나요?

둔각을 마주 보는 변은 가장 길어서, 그 변의 수직이등분선과 다른 변의 수직이등분선이 둔각의 반대쪽 바깥에서 만납니다. 외접원의 중심이 원의 어느 쪽에 있느냐로 생각하면, 둔각은 반원보다 큰 호에 대한 원주각이므로 중심이 삼각형 밖에 있게 됩니다.

무게중심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 같나요?

아닙니다. 무게중심은 중선을 2 : 1로 나누는 점이며, 꼭짓점까지의 거리가 같은 점은 외심입니다. 정삼각형일 때만 우연히 같아집니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.