일차부등식의 해를 수직선에 나타내는 법과 연립부등식 미리 보기

중2 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

일차부등식의 해는 수 하나가 아니라 수의 범위입니다. 그래서 답을 식으로만 쓰는 것보다 수직선에 나타내면 어디서부터 어디까지인지, 끝점이 들어가는지가 한눈에 보입니다. 고등학교에서 배우는 연립부등식에서는 두 범위가 겹치는 부분을 찾아야 하므로 수직선 그림이 사실상 풀이의 한 단계가 됩니다.

이 글에서는 수직선에 나타내는 규칙 → 일차부등식을 풀어 옮기기 순서로 중학교 내용을 정리한 뒤, 고등학교 내용인 연립부등식의 공통부분 → 해가 없거나 하나뿐인 경우를 미리 보기로 덧붙이고, 마지막에 시험지용 수직선 그림을 만들 때 확인할 점을 모았습니다.

수직선에 나타내는 네 가지 규칙

부등식 x > a, x ≥ a, x < a, x ≤ a 는 경곗값 a와 방향만 다릅니다. 수직선에서는 경곗값에 점을 찍고 해가 있는 쪽으로 선을 긋습니다. 점의 모양은 경곗값이 해에 들어가는지를 알려 줍니다. 속이 찬 점(●)은 포함, 속이 빈 점(○)은 포함하지 않음입니다.

문장제에서는 말을 부등호로 바꾸는 단계에서 자주 틀립니다. "5 이상"은 5를 포함하고, "5 초과"와 "5보다 크다"는 5를 포함하지 않습니다. "넘지 않는다", "많아야"는 이하(≤)이고, "적어도", "최소"는 이상(≥)입니다. 예를 들어 "한 번에 최대 8명까지 탈 수 있다"는 x ≤ 8 입니다.

그림처럼 경곗값에서 선을 조금 위로 올린 뒤 옆으로 긋는 방식을 많이 씁니다. 수직선 위에 바로 굵은 선을 그어도 틀린 것은 아닙니다. 다만 나중에 연립부등식(고등학교)에서 두 범위를 함께 나타낼 때는 높이를 달리해 올려 그려야 겹치는 부분이 잘 보이므로, 처음부터 올려 그리는 습관을 들이는 편이 좋습니다.

일차부등식을 풀어서 수직선에 옮기기

일차부등식은 일차방정식과 같은 순서(괄호 풀기 → 이항 → 정리 → x의 계수로 나누기)로 풉니다. 다른 점은 하나입니다. 양변에 같은 음수를 곱하거나 양변을 같은 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀝니다. 3 > 1 의 양변에 −1을 곱하면 −3 < −1 이 되는 것을 떠올리면 이유가 분명합니다.

1. 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 방향은 그대로입니다. a < b 이면 a + 5 < b + 5 입니다. 이항도 이 성질을 쓰는 것이므로 방향이 바뀌지 않습니다.
2. 양변에 같은 양수를 곱하거나 나누어도 방향은 그대로입니다. a < b 이면 3a < 3b 입니다.
3. 양변에 같은 음수를 곱하거나 나누면 방향이 반대가 됩니다. a < b 이면 −2a > −2b 입니다.

검산할 때 경곗값을 넣어 양변이 같아지는지 먼저 보면 계산 실수와 점 모양을 한꺼번에 점검할 수 있습니다. 양변이 같아지지 않으면 이항이나 나눗셈에서 틀린 것입니다. 같아지면 원래 부등호에 등호가 있는지로 ●, ○를 정하고, 범위 안쪽의 수 하나를 넣어 방향을 확인합니다.

계수에 분수가 있으면 분모의 최소공배수를 양변에 곱해 정수 계수로 바꿉니다. 예를 들어 x/2 − 1 ≥ x/3 은 양변에 6을 곱해 3x − 6 ≥ 2x, 곧 x ≥ 6 이 됩니다. 곱하는 수 6은 양수이므로 방향은 그대로입니다. 소수 계수는 10이나 100을 곱하는데, 이때 상수항에도 빠짐없이 곱해야 합니다. 0.3x − 1 < 0.1x 를 3x − 1 < x 로 바꾸는 실수가 대표적입니다(바르게는 3x − 10 < x, 곧 x < 5 입니다).

고등학교 미리 보기 ① 연립부등식의 공통부분 찾기

중학교 성취기준은 일차부등식([9수02-11], [9수02-12])까지이고, 미지수가 1개인 연립일차부등식은 고등학교 공통수학1([10공수1-02-09])에서 다룹니다. 이 절과 다음 절은 고등학교 내용을 미리 보는 것입니다. 수직선 읽기가 그대로 이어지고, 원문도 연립부등식을 중학교에서 학습한 연립일차방정식 내용을 토대로 이해하게 한다고 적고 있어 함께 정리합니다.

연립부등식은 두 부등식을 동시에 만족하는 x의 범위를 구하는 것입니다. 각 부등식을 따로 풀고, 두 해를 한 수직선 위에 높이를 달리해 그린 뒤, 두 선이 모두 지나가는 구간을 읽습니다. 이 구간이 공통부분이고 연립부등식의 해입니다.

두 부등식의 방향에 따라 공통부분의 모양은 네 가지로 정해집니다. 경곗값을 a < b 라 하면 다음과 같습니다. 같은 방향이면 더 안쪽의 경곗값을 따르고, 마주 보면 사이 구간, 서로 멀어지면 해가 없습니다.

A < B < C 꼴의 부등식은 A < B 와 B < C 를 연립한 것입니다. −1 ≤ 2x + 3 < 7 은 세 변에서 3을 빼고 2로 나누어 −2 ≤ x < 2 로 한 번에 풀 수 있습니다. 그런데 x + 2 < 2x − 1 < x + 5 처럼 세 변 모두에 x가 있으면 한꺼번에 정리할 수 없습니다. 이때는 x + 2 < 2x − 1 과 2x − 1 < x + 5 로 나누어 풀면 x > 3, x < 6 이므로 해는 3 < x < 6 입니다.

고등학교 미리 보기 ② 해가 없거나 하나뿐인 연립부등식

두 선이 서로 반대쪽으로 멀어지면 겹치는 곳이 없으므로 연립부등식의 해가 없습니다. 예를 들어 x + 4 < 2x + 1 과 3x − 2 ≤ 4 를 풀면 x > 3, x ≤ 2 입니다. 3보다 크면서 2 이하인 수는 없으므로 해가 없습니다.

경곗값이 같을 때는 점 모양이 답을 가릅니다. x ≥ 2 와 x ≤ 2 는 두 점이 모두 찬 점이므로 2 하나만 공통이고, 해는 x = 2 입니다. 반면 x ≥ 2 와 x < 2 처럼 한쪽이라도 빈 점이면 2는 두 부등식을 동시에 만족하지 못하므로 해가 없습니다.

경곗값에 문자가 들어간 문제는 이 차이를 정확히 묻습니다. 한쪽 경곗값을 2로 두고 다른 쪽을 a로 두었을 때, a = 2 에서 해가 있는지 없는지가 부등호마다 다릅니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• ●, ○ 크기를 인쇄 기준으로 확인합니다. 화면에서는 구별되어도 흑백으로 작게 인쇄하면 빈 점과 찬 점이 비슷해 보입니다. 경곗값의 점이 문제의 핵심이므로 인쇄 미리보기에서 한 번 더 봅니다.
• 연립부등식(고등학교) 그림에서는 두 부등식의 선을 높이를 다르게 그립니다. 같은 높이에 겹쳐 그리면 공통부분이 어디서 시작하는지 알 수 없습니다. 위아래 선에 ①, ② 같은 번호를 붙이면 풀이에서 가리키기 쉽습니다.
• 공통부분 빗금은 해설용 그림에만 넣습니다. 문제 그림에 빗금이 있으면 답이 보입니다. 문제에는 두 범위만, 해설에는 빗금까지 넣은 그림을 따로 준비합니다.
• 눈금 숫자는 필요한 만큼만 씁니다. 정수를 모두 적으면 "정수인 해의 개수"를 세는 문제가 쉬워집니다. 쌤로그 도판 도구의 "경곗값만 숫자 쓰기"를 켜면 경곗값에만 숫자가 남습니다.
• 경곗값이 소수·분수면 숫자를 따로 붙입니다. x > 1.5 를 1과 2 사이 아무 곳에나 찍으면 학생이 다른 값으로 읽을 수 있습니다. 두 부등식의 경곗값이 같은 소수라면 숫자가 겹치지 않는지도 확인합니다.
• 연립부등식의 해가 없는 문제도 두 범위는 그대로 그립니다. 그림을 비워 두면 왜 해가 없는지 설명할 수 없습니다. 두 선이 멀어지는 모습이 곧 풀이입니다.

자주 묻는 질문

x > −4 를 그릴 때 선을 −4에서 바로 시작해도 되나요?

네. 선은 경곗값에서 시작하고, 그 점을 빈 점으로 그려 −4 자체는 빠진다는 것을 나타냅니다. 선이 −4에서 떨어져 시작하면 −4와 −3.9 사이의 수가 빠진 것처럼 보이므로 점과 선을 붙여 그립니다.

이항할 때도 부등호 방향이 바뀌나요?

바뀌지 않습니다. 이항은 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 것이기 때문입니다. 방향이 바뀌는 때는 음수를 곱하거나 음수로 나눌 때뿐입니다. 방향을 바꾸기 싫다면 x항을 계수가 양수가 되는 쪽으로 모읍니다. 예제 1에서 x항을 오른쪽으로 모으면 −12 < 3x, 곧 x > −4 로 같은 답이 나옵니다.

연립부등식의 해가 x = 2 하나뿐이어도 "해가 있다"고 하나요?

네. 연립부등식은 고등학교 내용이지만 수직선으로 보면 바로 판단할 수 있습니다. 두 부등식을 동시에 만족하는 x가 2 하나뿐이면 해는 x = 2 입니다. x ≥ 2, x ≤ 2 처럼 경곗값이 같고 두 점이 모두 찬 점일 때 생깁니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.