연립방정식의 해와 두 직선의 교점: 해가 없거나 무수히 많을 때

중2 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

연립방정식을 계산으로만 풀면 "해가 없다", "해가 무수히 많다"는 결과가 왜 나오는지 설명하기 어렵습니다. 두 일차방정식을 각각 좌표평면의 직선으로 보면 설명이 간단해집니다. 두 직선은 한 점에서 만나거나, 평행하거나, 겹치는 세 경우밖에 없고, 이것이 그대로 해가 한 쌍, 없음, 무수히 많음에 대응합니다.

이 글에서는 일차방정식의 그래프 → 연립방정식의 해와 교점 → 해가 없는 경우와 무수히 많은 경우 → 직선이 선분과 만날 조건 순서로 정리하고, 두 직선 그림을 시험지에 넣을 때 확인할 점을 덧붙입니다.

일차방정식 ax + by + c = 0 의 그래프

미지수가 2개인 일차방정식 2x + y = 6 의 해는 순서쌍 (x, y)입니다. x, y가 자연수라면 해는 (1, 4), (2, 2) 두 개뿐이어서 좌표평면에 점 두 개로 나타납니다. 그런데 x, y의 범위가 수 전체이면 해가 끝없이 많고, 그 점들을 모두 찍으면 직선이 됩니다. 식을 y에 대해 풀면 y = −2x + 6 이므로 이 직선은 일차함수 y = −2x + 6 의 그래프와 같습니다.

계수 가운데 하나가 0이면 모양이 달라집니다. x의 계수가 0인 3y − 6 = 0 은 y = 2 이므로 x축에 평행한 직선이고, y의 계수가 0인 2x + 4 = 0 은 x = −2 이므로 y축에 평행한 직선입니다.

연립방정식의 해 = 두 직선의 교점

연립방정식의 해는 두 방정식을 동시에 만족하는 (x, y)입니다. 첫째 방정식을 만족하는 점은 모두 첫째 직선 위에, 둘째 방정식을 만족하는 점은 모두 둘째 직선 위에 있습니다. 따라서 둘 다 만족하는 점은 두 직선 위에 동시에 있는 점, 곧 교점입니다. 교점의 좌표를 구하는 것과 연립방정식을 푸는 것은 같은 일입니다.

이 관계를 거꾸로 쓰는 문제도 많습니다. 세 직선 x + y = 4, 2x − y = 5, ax + y = 7 이 한 점에서 만난다면, 앞의 두 직선의 교점 (3, 1)이 셋째 직선 위에도 있어야 합니다. 3a + 1 = 7 이므로 a = 2 입니다. 교점 좌표를 모르는 문자가 있는 식에 넣는 것이 핵심입니다.

해가 없는 경우: 두 직선이 평행

연립방정식 x − 2y = 2, 2x − 4y = −6 을 풀어 봅니다. 첫째 식에 2를 곱하면 2x − 4y = 4 이고, 둘째 식에서 빼면 0 = −10 이 되어 성립하지 않습니다. 어떤 (x, y)를 넣어도 두 식이 동시에 참이 될 수 없으므로 해가 없습니다.

그래프로 보면 이유가 보입니다. 두 식을 y에 대해 풀면 y = ½x − 1, y = ½x + 3/2 입니다. 기울기는 ½로 같고 y절편이 달라 두 직선이 평행하므로 교점이 없습니다. 교점이 없으니 해도 없습니다.

해가 무수히 많은 경우: 두 직선이 일치

이번에는 둘째 식을 2x − 4y = 4 로 바꿉니다. 이 식은 첫째 식 x − 2y = 2 의 양변에 2를 곱한 것이므로 사실 같은 방정식입니다. 두 식을 빼면 0 = 0 이 되어 항상 참이고, 첫째 식을 만족하는 (x, y)는 모두 해입니다. 예를 들어 (2, 0), (4, 1), (0, −1)이 모두 해이므로 해가 무수히 많습니다.

세 경우를 계수의 비로 정리하면 계산 없이 판단할 수 있습니다. 두 방정식을 ax + by = c, a′x + b′y = c′ 꼴로 맞추고, x의 계수끼리, y의 계수끼리, 상수항끼리 비를 비교합니다(분모가 되는 a′, b′, c′ 는 0이 아닐 때).

한 점을 지나는 직선이 선분과 만날 조건

y = ax − 1 처럼 기울기에 문자가 있는 직선은 a의 값이 무엇이든 x = 0 일 때 y = −1 이므로 항상 점 P(0, −1)을 지납니다. a가 바뀌면 이 직선은 점 P를 중심으로 돌아갑니다. 그래서 "직선이 선분 AB와 만나도록 하는 a의 범위"는 직선이 A를 지날 때와 B를 지날 때의 기울기 사이가 됩니다.

이 문제는 경계 두 개를 구한 뒤 범위의 방향을 그림으로 확인해야 합니다. 점 P가 선분의 왼쪽 아래에 있고 선분이 P보다 오른쪽에만 있으면 두 기울기 사이가 답이지만, 선분이 y축을 가로질러 P를 지나는 세로선의 양쪽에 걸쳐 있으면 범위가 "a ≤ ○ 또는 a ≥ △"처럼 둘로 나뉩니다. 계산만으로 끝내지 말고 반드시 그림을 그려 봅니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 교점의 좌표는 답이면 문자로 둡니다. 예제 1처럼 교점을 묻는 문제에서 점선과 좌표 눈금이 그대로 있으면 그림에서 답을 읽을 수 있습니다. 교점은 P(p, q)처럼 문자로 쓰고, 눈금 숫자도 필요한 것만 남깁니다.
• 평행한 두 직선은 기울기를 정확히 맞춰 그립니다. 손으로 그린 듯 조금만 어긋나도 그림 밖에서 만날 것처럼 보여 "해가 없다"는 결론과 어긋납니다.
• 일치하는 두 직선은 한 직선에 식 두 개를 붙입니다. 선을 두 번 겹쳐 그리면 인쇄에서 굵게만 보일 뿐 두 식이 같다는 뜻이 전달되지 않습니다. 식 두 개를 한 직선의 양 끝에 나누어 적는 편이 분명합니다.
• 식의 표기를 문제와 똑같이 맞춥니다. 문제에서 2x − 4y = −6 으로 주었는데 그림에 y = ½x + 3/2 가 적혀 있으면 학생이 다른 직선으로 착각합니다. 쌤로그 도판 도구에서는 식 대신 이름 l, m만 표시할 수도 있습니다.
• 회전하는 직선 문제는 경계 직선을 점선으로 구분합니다. 경계 직선과 선분을 같은 굵기의 실선으로 그리면 어느 것이 조건이고 어느 것이 풀이인지 헷갈립니다.

자주 묻는 질문

해가 무수히 많으면 "해가 모든 수"라고 써도 되나요?

아닙니다. 해가 무수히 많다는 것은 직선 x − 2y = 2 위의 점이 모두 해라는 뜻이지, 아무 (x, y)나 해라는 뜻이 아닙니다. (1, 1)은 x − 2y = −1 이므로 해가 아닙니다.

계수의 비를 쓸 때 0이 있으면 어떻게 하나요?

분모가 0이 되는 비는 쓸 수 없습니다. 이때는 두 식을 y = ax + b 꼴(또는 x = p, y = q 꼴)로 정리해 기울기와 절편을 직접 비교합니다. 예를 들어 y = 2 와 2y = 4 는 같은 직선이고, y = 2 와 y = 5 는 평행합니다.

두 직선이 수직이면 해가 어떻게 되나요?

수직인 두 직선은 기울기가 다르므로 한 점에서 만나고, 연립방정식의 해는 한 쌍입니다. 해의 개수는 두 직선이 이루는 각이 아니라 기울기가 같은지, 절편까지 같은지로만 정해집니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.