일차함수 그래프: 기울기·절편부터 도형의 넓이까지

중2 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

일차함수 y = ax + b 의 그래프는 직선이고, 이 직선은 수 두 개 a와 b로 완전히 정해집니다. a는 기울어진 정도와 방향을, b는 y축과 만나는 위치를 정합니다. 그래서 일차함수 단원의 문제 대부분은 "그래프에서 a, b를 읽어 내기"와 "a, b로 그래프를 그리기" 중 하나입니다.

이 글에서는 기울기와 절편의 뜻 → 그래프를 그리는 세 가지 방법 → 평행과 일치 → 두 점을 지나는 직선의 식 → 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 순서로 정리하고, 좌표평면 그림을 시험지에 넣을 때 챙길 점을 덧붙입니다.

기울기와 절편이 정하는 것

y = ax + b 의 그래프는 y = ax 의 그래프를 y축 방향으로 b만큼 평행이동한 직선입니다. 모든 점이 똑같이 b만큼 위(b가 음수면 아래)로 옮겨지므로 기울어진 정도는 그대로이고, 원점을 지나던 직선이 점 (0, b)를 지나게 됩니다.

기울기는 x의 값이 증가할 때 y의 값이 얼마나 증가하는지의 비율입니다. (y의 값의 증가량) ÷ (x의 값의 증가량) 이 항상 a로 일정합니다. y절편은 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표로 b와 같습니다. x절편은 x축과 만나는 점의 x좌표로, y = 0 을 넣어 구합니다.

그림의 직선 y = 2x − 4 에서 y절편은 −4이고, y = 0 을 넣으면 2x − 4 = 0 이므로 x절편은 2입니다. 그래프 위의 두 점 (1, −2), (3, 2)를 골라 기울기를 계산하면 (2 − (−2)) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2 입니다. 어떤 두 점을 골라도 같은 값이 나오는 것이 일차함수의 특징입니다.

a와 b의 부호만 알아도 직선이 지나는 사분면이 정해집니다. a > 0 이면 오른쪽 위로, a < 0 이면 오른쪽 아래로 향하고, b의 부호가 y축과 만나는 위치를 정하기 때문입니다.

그래프를 그리는 세 가지 방법

직선은 두 점만 정하면 그릴 수 있습니다. 어떤 두 점을 잡느냐에 따라 방법이 세 가지로 나뉩니다. y = −½x + 2 를 예로 들어 봅니다.

1. 두 점의 좌표 구하기: x에 계산하기 쉬운 값을 넣습니다. x = 0 이면 y = 2, x = 2 이면 y = 1 이므로 두 점 (0, 2), (2, 1)을 잇습니다. 분수 계수가 있으면 x에 분모의 배수를 넣어야 좌표가 정수가 됩니다.
2. x절편과 y절편 이용: y = 0 을 넣으면 −½x + 2 = 0 이므로 x절편은 4, y절편은 2입니다. 두 점 (4, 0), (0, 2)를 잇습니다. 두 점이 모두 축 위에 있어 그리기가 가장 빠릅니다.
3. 기울기와 y절편 이용: 점 (0, 2)에서 출발해 기울기 −½ 만큼, 곧 오른쪽으로 2칸 가고 아래로 1칸 가면 (2, 1)에 닿습니다. 이 두 점을 잇습니다.

세 방법 모두 같은 직선이 나와야 하므로, 한 방법으로 그린 뒤 다른 방법으로 한 점을 더 확인하면 검산이 됩니다. 위 예에서 기울기로 한 번 더 가면 (4, 0)에 닿아 x절편과 일치합니다.

기울기가 같으면 평행, 식이 같으면 일치

두 일차함수의 그래프를 비교할 때는 기울기부터 봅니다. 기울기가 같고 y절편이 다르면 두 직선은 평행해서 만나지 않습니다. 기울기와 y절편이 모두 같으면 두 그래프는 완전히 겹칩니다(일치). 기울기가 다르면 두 직선은 반드시 한 점에서 만납니다.

그림에서 l: y = 2x + 1 과 m: y = 2x − 3 은 y절편이 1과 −3으로 달라 평행합니다. n: y = −x + 3 은 기울기가 −1이라 두 직선과 모두 만나고, 예를 들어 m과는 2x − 3 = −x + 3 에서 x = 2, 곧 점 (2, 1)에서 만납니다. 기울기의 절댓값이 클수록 y축에 가깝게 가파르므로, 기울기 2인 l, m이 기울기 −1인 n보다 가파릅니다.

식의 모양이 달라 보여도 정리하면 같은 경우가 있습니다. 2y = 4x + 2 는 양변을 2로 나누면 y = 2x + 1 이므로 직선 l과 일치합니다. 평행인지 일치인지 물을 때는 반드시 y = ax + b 꼴로 고친 뒤 비교합니다.

두 점을 지나는 직선의 식 구하기

직선의 식을 구하는 문제는 주어진 조건에 따라 순서가 정해져 있습니다. 기울기와 한 점이 주어지면 y = ax + b 에 a를 넣고 점의 좌표를 대입해 b를 구합니다. 두 점이 주어지면 먼저 기울기를 구한 뒤 같은 방법을 씁니다. x절편 p와 y절편 q가 주어지면 두 점 (p, 0), (0, q)를 지나므로 기울기는 −q ÷ p 이고 y절편은 q입니다.

x절편과 y절편으로 식을 구하는 경우도 확인해 봅니다. x절편이 3, y절편이 −6인 직선은 (3, 0)과 (0, −6)을 지나므로 기울기는 (−6 − 0) ÷ (0 − 3) = 2 이고, 식은 y = 2x − 6 입니다. 공식 −q ÷ p = −(−6) ÷ 3 = 2 와도 같습니다.

직선으로 둘러싸인 도형의 넓이

직선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 꼭짓점의 좌표를 먼저 구하고, 좌표축 위에 놓인 변을 밑변으로 잡는 것이 기본입니다. 밑변이 축 위에 있으면 높이는 나머지 꼭짓점의 좌표에서 바로 읽을 수 있습니다.

그림의 직선 2x + 3y = 12 는 y = 0 일 때 x = 6, x = 0 일 때 y = 4 이므로 x절편 6, y절편 4입니다. 두 좌표축과 만드는 삼각형은 직각삼각형이므로 넓이는 ½ × 6 × 4 = 12 입니다. 절편이 음수이면 길이는 절댓값으로 씁니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 눈금 간격을 가로·세로 같게 둡니다. 가로와 세로 눈금이 다르면 기울기 1인 직선이 45°로 보이지 않아, 기울기를 그림으로 비교하는 문제에서 학생이 잘못 판단합니다.
• 절편이 분수일 때는 숫자를 직접 적습니다. x절편 3/2를 눈금 사이에 표시만 하면 1.4나 1.6으로 읽힐 수 있습니다. 문제에서 절편을 주는 경우라면 그 값을 그림에 씁니다.
• 구하는 값은 문자로 바꿉니다. 넓이 문제에서 교점 좌표나 넓이가 그림에 남아 있으면 답이 드러납니다. 쌤로그 도판 도구에서 값을 모르는 값으로 바꾸면 그 자리에 S나 p, q 같은 문자가 들어갑니다.
• 그래프의 개형만 묻는 문제는 눈금을 지웁니다. a, b의 부호를 판단하는 문제에 눈금이 있으면 값을 읽어서 풀게 됩니다. 원점 O와 축 이름만 남깁니다.
• 직선의 이름과 식이 선과 겹치지 않게 둡니다. 두세 개의 직선이 한 그림에 있으면 식이 다른 직선 위에 올라가기 쉽습니다. 인쇄 전에 이름 l, m, n이 어느 선을 가리키는지 한 번 더 확인합니다.

자주 묻는 질문

y = 3 도 일차함수인가요?

아닙니다. y = 3 은 x의 값에 관계없이 y가 3인 함수로, y = ax + b 에서 a = 0 인 경우라 일차함수가 아닙니다. 그래프는 점 (0, 3)을 지나고 x축에 평행한 직선입니다. 일차함수가 되려면 a ≠ 0 이어야 합니다.

기울기를 구할 때 어느 점을 먼저 빼야 하나요?

어느 점을 먼저 두어도 됩니다. 다만 x의 증가량과 y의 증가량에서 같은 점을 먼저 두어야 합니다. (5 − (−1)) ÷ (−1 − 2) 도 −2로 예제 1과 같은 값이 나옵니다.

x절편과 y절편이 모두 0이면 넓이를 어떻게 구하나요?

두 절편이 모두 0이면 직선이 원점을 지나므로 좌표축과 삼각형을 만들지 않습니다. 이런 직선이 나오는 문제는 보통 다른 직선이나 x = p, y = q 같은 직선과 함께 도형을 만들므로, 교점을 모두 구해 꼭짓점을 확인합니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.