중2 일차함수의 그래프
일차함수 y = ax + b의 그래프를 절편과 기울기로 그리고, 여러 직선을 비교하며, 그래프 모양으로 a, b의 부호를 판단합니다. 식 구하기와 평행 조건을 정리했습니다.
개념 정리
일차함수 y = ax + b에서 a는 기울기로, x의 값이 1만큼 증가할 때 y의 값의 증가량입니다. 두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂)를 지나면 기울기는 (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)입니다. b는 y축과 만나는 점의 y좌표인 y절편이고, x절편은 y = 0일 때의 x의 값 −b/a입니다.
y = 2x − 4는 x절편 2, y절편 −4이므로 두 점 (2, 0), (0, −4)를 이어 그릴 수 있고, (0, −4)에서 오른쪽으로 1, 위로 2씩 가며 그릴 수도 있습니다.
두 직선의 기울기가 같고 y절편이 다르면 평행하고, 둘 다 같으면 일치합니다. a > 0이면 오른쪽 위로, a < 0이면 오른쪽 아래로 향하며, b의 부호는 y축과 만나는 점이 원점의 위인지 아래인지를 정합니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 절편과 기울기: 그래프에서 절편을 읽어 식 구하기, 기울기 계단(증가량)을 보고 기울기 구하기
- 두 점으로 식 구하기: (1, −2), (3, 2)를 지나는 직선은 기울기 2, y = 2x − 4
- 여러 직선 비교: 평행한 두 직선 찾기, y축에 가까운 순서(기울기의 절댓값이 큰 순) 정하기, 교점 구하기
- 부호 판단: a > 0, b < 0인 그래프를 보고 y = bx + a는 기울기가 음수, y절편이 양수이므로 제3사분면을 지나지 않음을 설명하기
이 도판은 3가지 보기로 그릴 수 있습니다: 절편과 기울기, 여러 직선 비교, 그래프 개형(부호 판단).
예제 · 두 점을 지나는 직선
두 점 (−2, 7), (4, −2)를 지나는 일차함수의 식과 x절편을 구하고, 그래프가 지나는 사분면을 말하시오.
기울기는 (−2 − 7) ÷ (4 − (−2)) = −9/6 = −3/2입니다. y = −(3/2)x + b에 (4, −2)를 넣으면 −2 = −6 + b, b = 4이므로 y = −(3/2)x + 4입니다.
x절편은 0 = −(3/2)x + 4에서 8/3입니다. 기울기가 음수, y절편이 양수이므로 제1, 2, 4사분면을 지납니다. 검산: x = −2이면 3 + 4 = 7입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 절편 보기에서 식을 정하는 방법을 "두 점"으로 바꾸면 두 점을 찍은 그래프를 보고 식을 구하는 문제가 됩니다.
- "기울기 계단(증가량)"은 기울기의 뜻을 설명할 때 켭니다. 식을 구하는 문제에서는 "그래프의 식"을 끄고 기울기·y절편을 문자로 숨깁니다.
- 여러 직선 비교 보기는 "직선 이름 옆에 식"을 끄고 l, m, n만 남겨 평행한 직선이나 기울기 순서를 묻습니다.
- 부호 판단 보기는 눈금 없이 개형만 그려지므로 "a, b의 부호로 알맞은 것은?" 문제에 바로 씁니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 기울기를 (x의 증가량) ÷ (y의 증가량)으로 뒤집어 계산합니다.
- y = 2x − 4의 x절편을 −4로 답합니다(y절편과 혼동).
- 기울기가 같으면 무조건 평행이라고 답해 일치하는 경우를 빠뜨립니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.