이등변삼각형의 성질과 직각삼각형의 합동(RHA·RHS) 정리

중2 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

이 글에서 다루는 이등변삼각형의 성질, 직각삼각형의 합동 조건, 각의 이등분선의 성질은 모두 앞에서 배운 삼각형의 합동 조건(SSS, SAS, ASA)을 도구로 써서 정당화합니다. [9수03-09] 해설도 이등변삼각형의 성질을 삼각형의 합동 조건으로 정당화하게 하고, 이때 증명이라는 용어를 도입한다고 적고 있습니다. 세 성질이 모두 "어떤 두 삼각형이 합동인가"에서 출발합니다. 결과만 외우면 조건을 바꿔 묻는 문제에서 막히므로, 어느 두 삼각형을 어떤 조건으로 비교하는지까지 함께 익혀야 합니다.

이 글에서는 이등변삼각형의 성질 → 이등변삼각형이 되는 조건과 각 계산 → 직각삼각형의 합동 조건 → 각의 이등분선의 성질 순서로 정리하고, 시험지 그림에 넣을 표시를 덧붙입니다.

이등변삼각형의 두 가지 성질

두 변의 길이가 같은 삼각형이 이등변삼각형입니다. AB = AC 일 때 길이가 같은 두 변 사이의 각 ∠A를 꼭지각, 변 BC를 밑변, 밑변의 양 끝 각 ∠B, ∠C를 밑각이라 합니다. 이등변삼각형에는 두 가지 성질이 있습니다.

1. 두 밑각의 크기가 같습니다. ∠B = ∠C
2. 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분합니다. ∠A의 이등분선이 BC와 만나는 점을 D라 하면 BD = CD, AD ⊥ BC

두 성질은 한 번의 합동으로 함께 증명됩니다. ∠A의 이등분선 AD를 그으면 △ABD와 △ACD에서 AB = AC, ∠BAD = ∠CAD, AD는 공통이므로 SAS 합동입니다. 합동인 두 삼각형의 대응각이 같으므로 ∠B = ∠C 이고, 대응변이 같으므로 BD = CD 입니다. 또 ∠ADB = ∠ADC 인데 두 각의 합이 180°이므로 각각 90°입니다.

그림에서 ∠BAD = 25° 이므로 꼭지각은 50°이고, 밑각은 (180° − 50°) ÷ 2 = 65° 입니다. △ABD가 직각삼각형이라는 것을 쓰면 90° − 25° = 65° 로 더 빨리 구할 수 있습니다. 이등변삼각형에서는 꼭지각의 이등분선, 밑변의 수직이등분선, 꼭짓점 A에서 밑변에 내린 수선, 밑변의 중점과 A를 이은 선분이 모두 같은 선분입니다.

이등변삼각형이 되는 조건과 각 계산

성질을 거꾸로 쓴 것도 성립합니다. 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형입니다. ∠B = ∠C 인 삼각형에서 ∠A의 이등분선 AD를 그으면 ∠BAD = ∠CAD, ∠B = ∠C 이므로 나머지 각 ∠ADB = ∠ADC 도 같고, AD는 공통이므로 ASA 합동입니다. 따라서 AB = AC 입니다.

각을 구하는 문제는 이 두 방향을 번갈아 씁니다. 같은 길이 표시가 보이면 밑각이 같다는 식을 세우고, 같은 각이 보이면 이등변삼각형을 찾아 길이를 옮깁니다. 여기에 삼각형의 한 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합이라는 성질이 거의 항상 함께 쓰입니다.

같은 방법으로 풀리는 유명한 도형이 있습니다. AB = AC 인 삼각형에서 변 AC 위의 점 D를 AD = BD = BC 가 되게 잡으면 ∠A = x 라 할 때 ∠ABD = x, 외각 ∠BDC = 2x, ∠C = ∠BDC = 2x, ∠ABC = 2x 가 되어 x + 2x + 2x = 180°, 곧 ∠A = 36° 입니다. 이등변삼각형이 세 개 이어져 있어도 한 각을 x로 두고 외각으로 옮겨 가면 됩니다.

종이테이프를 접는 문제도 이등변삼각형 문제입니다. 접은 부분의 각은 접기 전과 같고, 테이프의 두 변이 평행하므로 엇각이 같습니다. 이 두 사실을 합치면 접힌 곳에 두 밑각이 같은 삼각형, 곧 이등변삼각형이 생깁니다.

직각삼각형의 합동 조건: RHA와 RHS

직각삼각형은 한 각이 90°로 정해져 있어서 일반 삼각형보다 적은 조건으로 합동을 판단할 수 있습니다. 이름의 R은 직각(Right angle), H는 빗변(Hypotenuse), A는 각(Angle), S는 변(Side)의 첫 글자입니다.

RHS의 증명을 조금 더 풀어 봅니다. 빗변 AB = DE, 다른 한 변 AC = DF 인 두 직각삼각형 ABC, DEF에서 △DEF를 뒤집어 변 DF를 변 AC에 맞대면, 두 직각이 나란히 붙어 B, C, E가 한 직선 위에 놓입니다. 이때 AB = AE 인 이등변삼각형 ABE가 생기므로 ∠B = ∠E 이고, 빗변과 한 예각이 같아 RHA 합동입니다.

각의 이등분선의 성질

직각삼각형의 합동은 각의 이등분선의 성질을 증명하는 데 바로 쓰입니다. ∠XOY의 이등분선 위의 점 P에서 두 변 OX, OY에 내린 수선의 발을 Q, R이라 하면, △POQ와 △POR은 빗변 OP가 공통이고 ∠POQ = ∠POR 이므로 RHA 합동입니다. 따라서 PQ = PR 입니다.

• 각의 이등분선 위의 한 점에서 그 각의 두 변까지의 거리는 같습니다. (RHA 합동)
• 각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 그 각의 이등분선 위에 있습니다. (빗변 OP가 공통이고 PQ = PR 이므로 RHS 합동)

그림에서 AC = 6, ∠B = 30° 입니다. △ACD와 △AED는 빗변 AD가 공통이고 ∠CAD = ∠EAD 이므로 RHA 합동이고, AE = AC = 6, DE = DC 입니다. 한 걸음 더 가면 ∠BAC = 60° 이므로 ∠DAB = 30° = ∠B 가 되어 △DAB는 DA = DB 인 이등변삼각형입니다. 이등변삼각형의 꼭짓점 D에서 밑변 AB에 내린 수선 DE는 밑변을 이등분하므로 AB = 2 × AE = 12 입니다.

삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점인데, 이 성질 덕분에 내심에서 세 변까지의 거리가 모두 같습니다. 두 이등분선의 교점이 세 변에서 같은 거리에 있으므로, 둘째 성질에 따라 셋째 각의 이등분선 위에도 있게 됩니다. 이어지는 내용은 외심·내심·무게중심 글에서 다룹니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 같은 길이 표시는 쌍마다 개수를 달리합니다. 예제 1처럼 AB = AC 와 CA = CD 가 함께 있는 그림에서 모든 변에 같은 눈금을 붙이면 AB = CD 로 잘못 읽힙니다. 한 쌍은 한 줄, 다른 쌍은 두 줄로 구분합니다.
• 직각 기호를 빠뜨리지 않습니다. RHA, RHS 문제에서 직각 기호가 없으면 합동 조건 자체가 성립하지 않습니다. 반대로 문제에서 묻는 것이 "AD ⊥ BC 임을 보이기"라면 직각 기호를 지웁니다.
• 이등변삼각형은 정삼각형처럼 보이지 않게 그립니다. 꼭지각을 60° 근처로 그리면 학생이 세 변이 같다고 착각할 수 있습니다. 꼭지각을 40°나 100°처럼 60°와 확실히 다르게 잡습니다.
• 접기 문제는 접기 전 모양을 점선으로 남깁니다. 접힌 각이 원래 어디에 있었는지 보여야 "접은 각은 같다"를 쓸 수 있습니다. 쌤로그 도판 도구의 종이테이프 도판은 접기 전 모양을 점선으로 켜고 끌 수 있습니다.
• 구하는 각은 x로 바꾸고 나머지 각은 실제 크기로 그립니다. 각의 크기를 대충 그리면 학생이 각도기로 재어 확인할 때 답과 달라 혼란스러워합니다.

자주 묻는 질문

정삼각형도 이등변삼각형인가요?

네. 정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같으므로 어느 두 변을 골라도 길이가 같아 이등변삼각형의 성질을 모두 가집니다. 그래서 세 내각이 모두 60°로 같고, 어느 꼭짓점에서 그은 각의 이등분선도 마주 보는 변을 수직이등분합니다.

직각삼각형에서 SSS나 ASA를 써도 되나요?

됩니다. RHA와 RHS는 직각삼각형에서 더 적은 조건으로 합동을 판단하게 해 주는 것일 뿐, 원래의 합동 조건을 쓰지 못하는 것은 아닙니다. 다만 빗변과 한 변만 주어졌을 때는 SSS나 SAS로는 판단할 수 없으므로 RHS를 써야 합니다.

각의 이등분선 위의 점에서 두 변까지의 "거리"는 어떤 길이인가요?

점에서 직선까지의 거리는 그 점에서 직선에 내린 수선의 길이입니다. 점과 변 위의 아무 점을 이은 길이가 아니므로, 그림에서 반드시 수선의 발과 직각 기호를 확인해야 합니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.