중2 각의 이등분선과 직각삼각형 합동
∠C = 90°인 직각삼각형에서 ∠A의 이등분선 AD와 D에서 빗변에 내린 수선 DE를 그립니다. RHA 합동으로 AC = AE, DC = DE 가 되는 이유와 길이 구하는 두 방법을 정리했습니다.
개념 정리
△ACD와 △AED는 ∠C = ∠E = 90°, 빗변 AD 공통, ∠CAD = ∠EAD 입니다. 빗변과 한 예각이 같으므로 RHA 합동이고, 대응변인 AC = AE, DC = DE 가 됩니다.
DC = DE 는 "각의 이등분선 위의 한 점에서 그 각의 두 변까지의 거리는 같다"는 성질을 이 그림에서 확인한 것입니다. 거꾸로 두 변까지 거리가 같은 점은 그 각의 이등분선 위에 있습니다(RHS 합동).
각의 크기도 따라 정해집니다. ∠A = 90° − ∠B 이므로 ∠ADC = 90° − ½∠A 입니다. 예를 들어 ∠B = 34°이면 ∠A = 56°, ∠ADC = 62° 입니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- AC를 주고 AE를 x로 묻는 가장 기본적인 합동 문제
- 세 변을 주고 DE(= DC)를 구하는 문제: 넓이로 풀거나 △DEB에 피타고라스 정리를 씀
- ∠B를 주고 ∠ADC, ∠ADE 를 묻는 각 문제
- "RHA 합동인 이유를 쓰시오" 형태의 합동 조건 서술형
- △ABD의 넓이를 ½ × AB × DE 로 구하게 하는 넓이 문제(높이 DE = DC 를 옮겨 씀)
예제 · 각의 이등분선과 수선의 길이
∠C = 90°, AC = 6, BC = 8, AB = 10 인 △ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC와 만나는 점을 D, D에서 AB에 내린 수선의 발을 E라 할 때 DE의 길이를 구하시오.
DE = DC = x 라 하면 △ABC = △ACD + △ABD 이므로 24 = ½ × 6 × x + ½ × 10 × x = 8x, x = 3 입니다.
다른 방법: AE = AC = 6 이므로 EB = 4, BD = 8 − x 이고 △DEB에서 (8 − x)² = x² + 4², 64 − 16x = 16, x = 3 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 같은 각 표시는 두 반각에 점을 찍어 따로 표시되므로 ∠A 전체와 헷갈리지 않습니다. 조건이므로 켜 둡니다.
- DC = DE 같은 길이 표시는 학생이 보여야 할 성질이라 처음에는 꺼져 있습니다. DC, DE의 길이와 ∠ADC도 숨겨져 있으니, 묻는 값만 골라 보이게 합니다.
- ∠B가 10°보다 작거나 65°보다 크면 삼각형이 납작해져 입력이 막힙니다. 30°~45° 정도가 가장 잘 읽힙니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- DE = DB 라고 씁니다. D에서 같은 거리에 있는 것은 두 변 AC, AB 쪽이며, DB는 직각삼각형 DEB의 빗변이라 DE보다 깁니다.
- 합동 조건을 SAS로 적습니다. 직각삼각형에서 빗변과 한 예각이 같으므로 RHA 입니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.