중2 이등변삼각형이 이어진 도형의 각
길이가 같은 선분이 이어져 이등변삼각형이 연달아 생기는 모양을 그립니다. 밑각이 x, 2x, 3x로 커지는 규칙과 36°·72°가 나오는 이유를 정리했습니다.
개념 정리
이등변삼각형의 두 밑각은 같고, 삼각형의 외각은 이웃하지 않는 두 내각의 합입니다. 이 두 성질을 번갈아 쓰면 이어진 이등변삼각형의 각을 차례로 구할 수 있습니다.
∠XOY = x 에서 OA1 = A1A2 = A2A3 = … 로 선분을 번갈아 그으면 첫 이등변삼각형의 밑각은 x, 다음은 2x, 그다음은 3x 로 밑각이 x씩 커집니다. 밑각은 90°보다 작아야 하므로 이을 수 있는 선분의 개수에 한계가 있습니다.
AB = AC 인 삼각형에서 AC 위의 점 D에 대해 AD = BD = BC 이면 ∠A = s 로 두어 ∠ABD = s, ∠BDC = 2s, ∠C = 2s, ∠ABC = 2s 입니다. s + 2s + 2s = 180° 이므로 ∠A = 36°, 밑각 72° 입니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 지그재그: ∠XOY와 선분 개수를 주고 마지막 각을 묻거나, 마지막 각으로 ∠XOY를 거꾸로 묻는 문제
- 밑변의 연장선: AB = AC, CA = CD 일 때 ∠ADC = ½∠ACB 를 이용하는 문제
- 변 위의 점: AD = BD = BC 인 모양에서 ∠A, ∠DBC, ∠C 를 묻는 문제
- 선분을 최대 몇 개까지 그을 수 있는지 묻는 문제(밑각 < 90°)
이 도판은 3가지 보기로 그릴 수 있습니다: 지그재그, 밑변의 연장선, 변 위의 점.
예제 · 지그재그로 이은 선분
∠XOY = 16° 이고 OA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 가 되도록 두 반직선 위에 점을 번갈아 잡았다. △A2A3A4의 꼭지각 ∠A2A3A4를 구하시오.
밑각이 차례로 16°, 32°, 48° 이므로 △A2A3A4의 밑각은 48° 입니다.
∠A2A3A4 = 180° − 2 × 48° = 84° 입니다.
예제 · 밑변의 연장선
AB = AC, ∠A = 52° 인 △ABC에서 BC의 연장선 위에 CA = CD 인 점 D를 잡을 때 ∠ADC와 ∠BAD를 구하시오.
∠ACB = (180° − 52°) ÷ 2 = 64° 입니다. △CAD는 이등변삼각형이고 ∠ACB가 그 외각이므로 ∠ADC = 64° ÷ 2 = 32° 입니다.
∠BAD = 52° + 32° = 84° 입니다. 검산: △ABD에서 64° + 32° + 84° = 180° 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 같은 길이 표시는 이등변삼각형이라는 조건 자체이므로 켜 둡니다. 끄면 문제에 "OA1 = A1A2 = …"를 글로 적어야 합니다.
- 지그재그 보기에서 선분 개수를 늘리면 허용되는 ∠XOY의 최댓값이 줄어듭니다. 경고가 나오면 각을 줄입니다.
- 변 위의 점 보기는 36°가 고정이라 구하는 각만 바꿔 여러 문제를 만듭니다. AB = AC 표시는 처음에는 꺼져 있습니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 지그재그에서 모든 이등변삼각형의 밑각을 x로 같게 씁니다.
- 외각을 쓸 때 어느 삼각형의 외각인지 정하지 않아 ∠ADC = ∠ACB 로 적습니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.