중2 삼각형의 외심·내심·무게중심
삼각형의 외심·내심·무게중심을 한 도판에서 그립니다. 세 점이 어떤 선의 교점이고 무엇까지의 거리가 같은지, 각·접선의 길이·넓이 계산에 어떻게 쓰이는지 정리했습니다.
개념 정리
외심은 세 변의 수직이등분선의 교점으로 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있고, 외접원의 중심입니다. 예각삼각형은 안쪽, 직각삼각형은 빗변의 중점, 둔각삼각형은 바깥에 생깁니다.
내심은 세 내각의 이등분선의 교점으로 세 변에서 같은 거리에 있고, 내접원의 중심입니다. 삼각형의 넓이는 ½ × (내접원의 반지름) × (세 변의 길이의 합)입니다.
무게중심은 세 중선의 교점이며 각 중선을 꼭짓점 쪽부터 2 : 1로 나눕니다. 세 중선이 나눈 여섯 삼각형의 넓이는 모두 같습니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 외심과 각: OA = OB = OC 로 생기는 세 이등변삼각형에서 ∠OAB + ∠OBC + ∠OCA = 90°, ∠BOC = 2∠A
- 내심과 각: ∠BIC = 90° + ½∠A, 내심을 지나는 평행선이 만드는 △ADE의 둘레 = AB + AC
- 내접원과 접선의 길이: AD = (AB + AC − BC) ÷ 2
- 직각삼각형의 외심: 빗변의 중점까지의 거리 = 빗변의 1/2
- 무게중심과 넓이: 1/6, 1/3, 1/2 조각 찾기, △GBC의 무게중심 G′에서 GG′ = AM × 2/9
이 도판은 11가지 보기로 그릴 수 있습니다: 외심, 내심, 무게중심, 외심과 내심, 외심과 각, 내심과 각, 내접원과 접선의 길이, 직각삼각형의 외심, 내심을 지나는 평행선, 무게중심과 넓이, 무게중심의 무게중심.
예제 · 내심과 각
삼각형 ABC의 내심을 I라 하자. ∠A = 70°일 때 ∠BIC의 크기를 구하시오.
삼각형 IBC에서 ∠IBC + ∠ICB = ½(∠B + ∠C) = ½(180° − 70°) = 55° 이므로
∠BIC = 180° − 55° = 125° 입니다. 공식 ∠BIC = 90° + ½∠A 로도 90° + 35° = 125° 가 됩니다.
예제 · 내접원과 접선의 길이
AB = 9, BC = 10, CA = 7 인 △ABC의 내접원이 AB와 만나는 점을 D라 할 때 AD를 구하시오.
한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같으므로 AD = (AB + AC − BC) ÷ 2 = (9 + 7 − 10) ÷ 2 = 3 입니다.
검산: BD = 6, CE = 10 − 6 = 4, AF = 7 − 4 = 3 = AD 로 맞습니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 문제에 필요한 보조선만 남깁니다. 수직이등분선이나 이등분선을 모두 그리면 답이 드러날 수 있습니다.
- 같은 길이·같은 각 표시를 조건에 맞게 넣어야 그림만 보고도 조건이 읽힙니다. 각·접선 보기에서는 기본으로 꺼 두었습니다.
- 구하는 각이나 길이는 x, ?로 바꿔 정답이 그림에 남지 않게 합니다. 무게중심과 넓이 보기에서는 색칠할 부분(1/6, 1/3, 1/2)을 골라 문제를 바꿀 수 있습니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 무게중심에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같다고 착각합니다(같은 것은 외심).
- 내심을 세 변의 수직이등분선의 교점으로 잘못 기억합니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.