경우의 수와 확률: 수형도·표·그림으로 빠짐없이 세기

중2 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

경우의 수 문제에서 틀리는 이유는 대부분 계산이 아니라 세는 과정에 있습니다. 하나를 빠뜨리거나, 같은 것을 두 번 세거나, 순서가 있는지 없는지를 잘못 판단합니다. 그래서 이 단원에서는 공식보다 빠짐없이, 겹치지 않게 늘어놓는 도구를 먼저 익히는 것이 중요합니다. 수형도, 순서쌍 표, 길과 영역 그림이 그 도구입니다.

이 글에서는 수형도로 세기 → 두 경우의 수를 더할 때와 곱할 때 → 순서가 있는 선택과 없는 선택 → 길 찾기와 색칠하기 → 확률의 뜻과 성질 순서로 정리하고, 경우의 수 그림을 시험지에 넣을 때 챙길 점을 덧붙입니다.

사건과 경우의 수, 수형도로 세기

같은 조건에서 여러 번 반복할 수 있는 실험이나 관찰의 결과를 사건이라 하고, 사건이 일어나는 가짓수를 경우의 수라 합니다. 예를 들어 주사위 한 개를 던질 때 "짝수의 눈이 나온다"는 사건의 경우의 수는 2, 4, 6의 3입니다.

단계가 여러 번 이어지는 실험은 수형도(나뭇가지 그림)로 늘어놓습니다. 첫 단계의 결과마다 가지를 나누고, 그 끝에서 다음 단계의 가지를 다시 나눕니다. 가지의 끝 하나가 경우 하나이므로 끝을 세면 모든 경우의 수가 됩니다.

동전 세 개를 차례로 던지면 첫째 동전에서 2가지로 나뉘고, 각각에서 다시 2가지, 또 2가지로 나뉘어 끝은 8개입니다. 이 가운데 앞면이 정확히 두 번 나오는 경우는 (앞, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 앞), (뒤, 앞, 앞)의 3가지입니다. 수형도에 모든 경우가 적혀 있으므로 조건에 맞는 끝을 골라 세기만 하면 됩니다.

두 경우의 수를 더할 때와 곱할 때

경우가 많아지면 모두 늘어놓기 어려우므로 두 가지 셈을 씁니다. [9수04-05] 해설에 따라 중학교에서는 경우의 수를 이처럼 두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도로 다룹니다.

• 더하는 경우: 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, A가 일어나는 경우의 수가 m, B가 일어나는 경우의 수가 n이면 A 또는 B가 일어나는 경우의 수는 m + n 입니다.
• 곱하는 경우: A가 일어나는 경우의 수가 m이고, 그 각각에 대해 B가 일어나는 경우의 수가 n이면 A와 B가 동시에(잇달아) 일어나는 경우의 수는 m × n 입니다.

더하는 경우의 조건 "동시에 일어나지 않을 때"를 놓치면 틀립니다. 1부터 10까지의 수가 적힌 카드에서 한 장을 뽑을 때 3의 배수 또는 7의 배수가 나오는 경우는 두 쪽에 함께 들어가는 카드가 없으므로 3 + 1 = 4 (3, 6, 9, 7)로 바로 더합니다. 하지만 짝수 또는 3의 배수를 물으면 6이 두 쪽에 모두 들어갑니다. 5 + 3 = 8 로 더하면 6을 두 번 센 것이 되므로, 이때는 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 처럼 조건에 맞는 카드를 직접 늘어놓아 7장을 셉니다.

곱하는 셈은 수형도에서 "각 가지마다 다음 가지의 수가 같을 때"를 빠르게 센 것입니다. 그림에서 음식 가지 3개마다 음료 가지가 2개씩 붙으므로 끝은 3 × 2 = 6개입니다. 다음 단계의 가지 수가 앞의 선택에 따라 달라지면 그대로 곱할 수 없고, 가지를 나누어 세어 더해야 합니다. 두 셈에 붙는 이름인 합의 법칙과 곱의 법칙은 원문에서 고등학교 공통수학1([10공수1-03-01])의 용어로 나옵니다.

순서가 있는 선택과 없는 선택, 늘어놓아 세기

사람이나 카드를 고르는 문제는 순서가 있는지부터 봅니다. 네 명 A, B, C, D 중에서 두 명을 고르는 두 상황을 비교해 봅니다.

회장 1명과 부회장 1명을 뽑으면 회장을 고르는 경우가 4가지이고, 그 각각에 대해 부회장은 남은 3명 중 한 명이므로 3가지입니다. 두 경우의 수를 곱해 4 × 3 = 12 가지입니다. (A, B)는 A가 회장인 경우, (B, A)는 B가 회장인 경우이므로 서로 다른 결과입니다.

대표 2명을 뽑으면 두 사람 사이에 순서가 없습니다. 이때는 알파벳 순서로 빠짐없이 늘어놓습니다. A가 들어가는 AB, AC, AD, 그다음 A를 뺀 B의 짝 BC, BD, 마지막으로 CD 이므로 모두 6가지입니다. 회장·부회장의 12가지와 비교하면 (A, B)와 (B, A)가 대표 AB 하나로 묶인다는 것을 눈으로 확인할 수 있습니다.

도형의 개수를 세는 문제도 같습니다. 원 위의 네 점 A, B, C, D 중 두 점을 이어 만드는 선분은 선분 AB와 선분 BA가 같으므로 순서가 없는 선택입니다. 대표 2명을 뽑을 때와 똑같이 늘어놓으면 6개입니다.

숫자 카드로 자연수를 만드는 문제는 0에 주의합니다. 0, 1, 2, 3 이 적힌 카드 네 장 중 두 장으로 두 자리 자연수를 만들면, 십의 자리에는 0이 올 수 없어 1, 2, 3 의 3가지이고, 일의 자리에는 남은 세 장이 모두 올 수 있어 3가지입니다. 따라서 3 × 3 = 9 개입니다. 10, 12, 13, 20, 21, 23, 30, 31, 32 로 늘어놓아도 9개입니다.

여러 명을 한 줄로 세우거나 많은 사람 가운데 여러 명을 한꺼번에 뽑는 문제처럼, 늘어놓기 어렵고 단계가 길게 이어지는 경우의 수는 순열과 조합으로 다루는 고등학교 공통수학1([10공수1-03-02], [10공수1-03-03])의 내용입니다. 중학교 시험지에서는 수형도나 늘어놓기로 확인할 수 있는 크기로 수를 잡습니다.

길 찾기와 색칠하기

바둑판 모양의 길에서 A에서 B까지 최단 거리로 가려면 오른쪽과 위쪽으로만 움직여야 합니다. 가로 2칸, 세로 2칸인 작은 길이면 가는 방법을 직접 늘어놓을 수 있습니다. 오른쪽을 →, 위쪽을 ↑로 적으면 →→↑↑, →↑→↑, →↑↑→, ↑→→↑, ↑→↑→, ↑↑→→ 의 6가지입니다.

늘어놓은 결과는 교차점마다 수를 적어 확인할 수 있습니다. 한 교차점에는 왼쪽에서 오거나 아래쪽에서 오는데, 두 경우는 동시에 일어나지 않으므로 두 경우의 수를 더합니다. 맨 아래 줄과 맨 왼쪽 줄은 한 방향으로만 갈 수 있어 모두 1이고, 가운데 교차점은 1 + 1 = 2, 그 오른쪽과 위쪽은 2 + 1 = 3, B는 3 + 3 = 6 입니다.

가운데 점 P를 반드시 지나야 한다면 A에서 P까지 가는 방법(→↑, ↑→)이 2가지이고, 그 각각에 대해 P에서 B까지 가는 방법도 2가지이므로 두 경우의 수를 곱해 2 × 2 = 4 가지입니다. 앞에서 늘어놓은 6가지 가운데 P를 지나지 않는 것은 →→↑↑와 ↑↑→→ 둘뿐이므로 6 − 2 = 4 로 맞습니다.

영역을 색칠하는 문제도 앞 영역부터 차례로 칠하며 곱합니다. 일렬로 붙은 세 영역 A, B, C를 서로 다른 세 가지 색 가운데에서 골라, 이웃한 영역끼리는 다른 색이 되게 칠하는 경우를 세어 봅니다.

A와 B를 칠하는 방법은 A가 3가지, 그 각각에 대해 B가 2가지이므로 3 × 2 = 6 가지입니다. 그 6가지 각각에 대해 C는 B와 다른 색 2가지(A와는 같아도 됨)이므로 6 × 2 = 12 가지입니다. 색을 빨강, 노랑, 파랑이라 하면 A가 빨강인 경우는 (빨, 노, 빨), (빨, 노, 파), (빨, 파, 빨), (빨, 파, 노)의 4가지이고, A의 색마다 4가지씩이므로 3 × 4 = 12 로 같습니다.

확률의 뜻과 성질

어떤 실험에서 각 경우가 일어날 가능성이 모두 같을 때, 사건 A가 일어날 확률은 p = (사건 A가 일어나는 경우의 수) ÷ (모든 경우의 수) 입니다. "가능성이 모두 같을 때"라는 조건이 중요합니다. 경우를 셀 때 같은 가능성의 경우들로 나누어야 올바른 확률이 나옵니다.

[9수04-06] 해설은 확률을 실험이나 관찰로 구한 상대도수의 의미와 경우의 수의 비율의 의미를 연결해 이해하게 합니다. 예를 들어 동전을 20번, 100번, 500번 던지며 앞면이 나온 상대도수를 기록하면 던진 횟수가 많아질수록 그 값이 1/2 가까이에 모이는 것을 볼 수 있고, 이 값이 경우의 수로 구한 1/2 과 같다는 것을 확인할 수 있습니다.

• 0 ≤ p ≤ 1 입니다. 절대로 일어나지 않는 사건의 확률은 0, 반드시 일어나는 사건의 확률은 1입니다.
• 사건 A가 일어날 확률이 p이면 A가 일어나지 않을 확률은 1 − p 입니다. "적어도 하나"를 묻는 문제에서 특히 유용합니다.

주사위 두 개를 던지는 실험은 순서쌍 표로 정리하면 편합니다. 두 주사위를 구별해 (첫째 눈, 둘째 눈)으로 적으면 모든 경우는 6 × 6 = 36 가지이고, 각 경우의 가능성이 같습니다. 아래 표는 두 눈의 합을 적은 것입니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 수형도는 끝에 경우를 쓸지 정합니다. 모든 경우를 세는 문제라면 끝의 순서쌍을 지워야 학생이 직접 늘어놓습니다. 확률 문제의 풀이용 그림에는 순서쌍까지 적어 조건에 맞는 경우를 표시하게 합니다.
• 단계 이름을 적습니다. "첫째, 둘째"나 "음식, 음료"처럼 각 단계가 무엇인지 적어 두면 순서가 있는 선택인지 학생이 판단하기 쉽습니다. 쌤로그 도판 도구의 수형도는 단계 이름을 켜고 끌 수 있습니다.
• 바둑판 길은 늘어놓아 확인할 수 있을 만큼 작게 잡습니다. 가로·세로 2~3칸이면 학생이 가는 방법을 직접 적어 볼 수 있습니다. 칸이 너무 작거나 선이 가늘면 인쇄했을 때 칸 수를 잘못 세므로, 교차점의 수를 적는 풀이 그림은 숫자가 선과 겹치지 않는지도 확인합니다.
• 지나갈 수 없는 길은 분명하게 끊습니다. 끊긴 길을 옅은 선으로만 표시하면 흑백 인쇄에서 사라집니다. 길을 아예 지우거나 × 표시를 넣습니다.
• 색칠하기 문제는 영역 이름을 모두 적습니다. 영역에 A, B, C가 있어야 풀이에서 칠하는 순서를 쓸 수 있습니다. 이웃한 것으로 보아야 하는지 헷갈리는 꼭짓점만 닿은 영역은 문제 문장에서 따로 밝힙니다.

자주 묻는 질문

동전 두 개를 던지면 (앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 뒤) 세 가지이니 앞면이 두 개 나올 확률은 1/3 아닌가요?

아닙니다. 세 경우의 가능성이 같지 않기 때문입니다. 두 동전을 구별하면 (앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤)의 네 경우가 같은 가능성으로 일어나므로 앞면이 두 개일 확률은 1/4, 한 개일 확률은 2/4 = 1/2 입니다. 확률을 구할 때는 가능성이 같은 경우로 나누어 세야 합니다.

"동시에 던진다"와 "차례로 던진다"는 경우의 수가 다른가요?

다르지 않습니다. 주사위 두 개를 동시에 던져도 두 주사위는 서로 다른 물체이므로 구별해서 셉니다. 그래서 동시에 던지든 차례로 던지든 모든 경우의 수는 36입니다.

두 경우의 수를 그대로 더해도 되는지는 어떻게 판단하나요?

두 사건에 동시에 해당하는 경우가 있는지 확인합니다. 겹치는 경우가 없으면 그대로 더합니다. 겹치는 경우가 있으면 그대로 더할 때 같은 경우를 두 번 세게 되므로, 조건에 맞는 경우를 직접 늘어놓아 셉니다. 1부터 10까지의 카드에서 짝수 또는 3의 배수를 뽑는 경우가 그런 예입니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.