중2 경우의 수를 구하는 그림
바둑판 길, 이웃한 영역 색칠, 원 위의 점, 과녁을 그립니다. 두 경우의 수를 더하거나 곱하는 중학교 범위의 문제와, 순열·조합으로 풀리는 교육과정 밖의 형태를 구분해 정리했습니다.
개념 정리
동시에 일어나지 않는 두 사건의 경우의 수는 더하고, 잇달아 일어나는 두 단계의 경우의 수는 곱합니다. 원문은 중학교 경우의 수를 "두 경우의 수를 합하거나 곱하는 경우 정도로만 다루고, 순열과 조합을 이용하면 쉽게 해결되는 등의 복잡한 경우의 수를 구하는 문제는 다루지 않는다"고 적고 있습니다([9수04-05] 해설). 순열과 조합은 고등학교 공통수학1([10공수1-03-02], [10공수1-03-03])의 내용입니다.
바둑판 모양 길에서 오른쪽과 위쪽으로만 가는 최단 경로는 칸이 적을 때 직접 나열하거나 교차점마다 경우의 수를 적어 셉니다. A에서 오른쪽 1칸·위 1칸인 P까지는 2가지, P에서 오른쪽 2칸·위 1칸인 B까지는 3가지이므로 P를 지나는 경로는 2 × 3 = 6가지입니다. 칸이 많은 바둑판의 경로 전체를 세는 문제는 조합으로 쉽게 풀리는 형태라 중학교 교육과정 밖입니다.
원 위의 네 점 A, B, C, D로 만드는 선분은 AB, AC, AD, BC, BD, CD의 6개, 삼각형은 한 점씩 빼고 남은 세 점으로 만든 4개로 직접 나열해 셀 수 있습니다. 점이 6개, 7개로 늘어났을 때 선분·삼각형의 개수를 식으로 구하는 것은 조합의 수를 구하는 문제이므로 중학교 교육과정 밖입니다.
과녁에서 반지름의 비가 1 : 2 : 3이면 넓이의 비는 1 : 4 : 9이므로 안쪽부터 각 부분의 넓이의 비는 1 : 3 : 5입니다. 과녁의 어느 곳에나 똑같이 맞을 수 있다고 보면 가운데 고리에 맞을 확률은 3/9 = 1/3입니다. 다만 [9수04-06] 해설은 확률을 상대도수와 경우의 수의 비율로 이해하게 한다고 적고 있고, 넓이의 비로 구하는 확률은 따로 적혀 있지 않으므로 다룰지는 쓰는 교과서로 확인합니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 최단 경로: 가로 3칸·세로 2칸 이하의 작은 길에서 경로를 나열하거나, 반드시 지나는 점 P로 나누어 (A → P) × (P → B) 두 수를 곱하기
- 영역 색칠하기: 영역 3개인 띠를 적은 색으로 이웃끼리 다르게 칠하는 방법을 수형도로 나열해 세기. 가운데 영역과 둘레 4개 영역을 4가지 색으로 칠하는 72가지 같은 문제는 [9수04-05] 해설의 "복잡한 경우의 수"라 중학교 교육과정 밖
- 원 위의 점: 점 4개에서 선분(6개)과 삼각형(4개)을 모두 나열해 세기. 점이 많을 때 식으로 세는 문제는 조합([10공수1-03-03])이라 교육과정 밖
- 과녁 확률: 색칠한 부분의 넓이 ÷ 과녁 전체의 넓이. "가장 안쪽 원 또는 가장 바깥 고리"처럼 두 부분을 합하면 1/9 + 5/9 = 2/3
이 도판은 4가지 보기로 그릴 수 있습니다: 최단 경로(바둑판 길), 영역 색칠하기, 원 위의 점, 과녁 확률.
예제 · 반드시 지나는 점이 있는 최단 경로
바둑판 모양 길에서 A에서 B까지 오른쪽과 위쪽으로만 간다. A에서 P까지는 오른쪽으로 1칸, 위로 1칸이고, P에서 B까지는 오른쪽으로 2칸, 위로 1칸이다. P를 반드시 지나는 경로의 수를 구하시오.
A → P는 (오른쪽, 위), (위, 오른쪽)의 2가지입니다.
P → B는 (오른쪽, 오른쪽, 위), (오른쪽, 위, 오른쪽), (위, 오른쪽, 오른쪽)의 3가지입니다.
A → P의 경로마다 P → B가 3가지씩 이어지므로 2 × 3 = 6가지입니다.
예제 · 원 위의 네 점
원 위에 네 점 A, B, C, D가 있다. 두 점을 이어 만들 수 있는 선분의 수와 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 수를 구하시오.
선분은 AB, AC, AD, BC, BD, CD로 6개입니다. AB와 BA는 같은 선분이므로 한 번만 셉니다.
세 점을 고르는 것은 남길 한 점을 빼는 것과 같으므로 삼각형은 △BCD, △ACD, △ABD, △ABC의 4개입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 최단 경로 보기의 기본값은 가로 4칸·세로 3칸입니다. 중학교 문제지에서는 칸 수를 가로 3칸·세로 2칸 이하로 줄이고 "점 P를 반드시 지나기"로 두 구간을 나누어, 두 경우의 수를 곱하는 문제로 만듭니다. "교차점마다 경우의 수 쓰기"는 정답지·풀이용입니다.
- 영역 색칠하기의 기본 배치(가운데 원과 둘레 4조각, 4가지 색)는 답이 72가지로, 여러 단계의 곱과 경우 나누기가 필요한 복잡한 문제입니다. 중학교 문제지에서는 배치를 "일렬 띠", 영역 3개, 색 2~3가지로 줄여 수형도로 확인할 수 있게 합니다.
- 원 위의 점 보기의 기본값은 점 6개이고, 자동 풀이도 "순서대로 고른 뒤 같은 것끼리 나누기"로 적힙니다. 이 방법은 조합의 수를 구하는 방법이므로, 중학교 문제지에서는 점을 4개로 줄이고 "모든 선분 그리기"를 켜서 나열하게 합니다.
- 과녁 보기는 색칠할 부분(안쪽·가운데·바깥쪽·안쪽과 바깥쪽)을 고르고, 반지름 눈금으로 비를 보여 줍니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 점 P를 지나는 경로 수를 (A → P) + (P → B)로 더합니다. 잇달아 일어나는 두 단계이므로 곱합니다.
- 선분 AB와 BA를 따로 세어 선분의 수를 두 배로 답합니다.
- 과녁 확률을 반지름의 비로 계산해 가장 바깥 고리의 확률을 1/3로 답합니다(넓이의 비로 5/9입니다).
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.