피타고라스 정리의 여러 가지 증명과 활용 문제 정리

중2 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

피타고라스 정리는 "직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다"는 한 문장입니다. 식은 짧지만 증명 방법이 여러 가지이고, 방법마다 앞 단원에서 배운 합동, 평행선과 넓이, 닮음이 한데 모입니다. 그래서 증명 과정을 따라가 보는 것 자체가 도형 단원의 좋은 복습이 됩니다.

이 글에서는 정리의 뜻 → 네 가지 증명 → 직각삼각형의 닮음 → 활용 문제 순서로 정리합니다. 쌤로그 도판의 학년 분류(교과서 단원 순서)에서는 이 단원을 중2에 두지만, 교육과정 원문에는 학년 배치가 없습니다. 제곱근을 배우기 전 단계에서 다룬다면 답이 자연수가 되도록 수치를 골라야 하므로, 마지막 절에서 그 점도 함께 다룹니다.

피타고라스 정리와 세 정사각형

∠C = 90° 인 직각삼각형 ABC에서 빗변의 길이를 c, 다른 두 변의 길이를 a, b라 하면 a² + b² = c² 입니다. 제곱은 넓이로 볼 수 있으므로, 이 식은 "빗변 위에 그린 정사각형의 넓이는 다른 두 변 위에 그린 정사각형의 넓이의 합과 같다"는 뜻입니다.

그림에서 빗변 위의 정사각형의 넓이는 36 + 64 = 100 이고, 한 변의 길이는 제곱해서 100이 되는 양수 10입니다. 두 변은 6과 8입니다. 정리의 역도 성립합니다. 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 a² + b² = c² 이면 그 삼각형은 빗변이 c인 직각삼각형입니다. [9수03-15] 해설에 따라 역은 증명하기보다 직관적으로 이해하게 하고, 세 변의 길이가 주어진 삼각형이 직각삼각형인지 판별하는 데 씁니다. 길이가 3, 4, 5인 막대나 끈으로 삼각형을 만들어 가장 긴 변과 마주 보는 각이 직각이 되는 것을 확인해 보는 활동이 그런 예입니다. 판별은 계산으로 합니다. 세 변이 7, 24, 25인 삼각형은 49 + 576 = 625 = 25² 이므로 직각삼각형이고, 세 변이 6, 7, 9인 삼각형은 36 + 49 = 85 ≠ 81 이므로 직각삼각형이 아닙니다.

증명 1: 네 직각삼각형을 두 가지로 배치하기

가장 직관적인 증명은 같은 크기의 큰 정사각형 두 개 안에 합동인 직각삼각형 네 개를 서로 다르게 놓아 보는 것입니다. 큰 정사각형의 한 변은 a + b 입니다.

1. 첫째 배치: 네 삼각형의 빗변이 안쪽을 향하도록 네 모서리에 놓으면, 가운데에 한 변이 c인 정사각형이 남습니다. 남은 넓이는 c² 입니다.
2. 둘째 배치: 삼각형 두 개씩 붙여 직사각형 두 개를 만들어 두 모서리에 놓으면, 한 변이 a인 정사각형과 한 변이 b인 정사각형이 남습니다. 남은 넓이는 a² + b² 입니다.
3. 두 큰 정사각형의 넓이가 같고, 빼낸 네 삼각형의 넓이도 같으므로 남은 넓이도 같습니다. 따라서 a² + b² = c² 입니다.

그림의 수치로 확인해 봅니다. 두 변이 4, 3인 직각삼각형 네 개를 놓으면 큰 정사각형의 넓이는 7 × 7 = 49, 삼각형 하나의 넓이는 ½ × 4 × 3 = 6 이므로 가운데 정사각형의 넓이는 49 − 24 = 25 입니다. 둘째 배치로 계산하면 4² + 3² = 16 + 9 = 25 로 같습니다. 문자로 전개하는 방식((a + b)² 의 전개)은 다항식의 곱셈([9수02-19])을 쓰므로, 그 내용을 배우기 전이라면 이처럼 넓이를 비교하는 설명이 알맞습니다.

증명 2: 유클리드의 넓이 옮기기

유클리드의 증명은 합동과 "평행선 사이에서 밑변이 같은 삼각형은 넓이가 같다"는 성질만으로 정사각형의 넓이를 옮깁니다. ∠C = 90° 인 △ABC의 세 변 위에 바깥쪽으로 정사각형 ACDE, BHIC, AFGB를 그리고, 점 C에서 AB에 수선을 내려 AB, FG와 만나는 점을 J, K라 합니다. 목표는 □ACDE = □AFKJ 를 보이는 것입니다.

1. ∠ACB = ∠ACD = 90° 이므로 B, C, D는 한 직선 위에 있고, 이 직선은 AE와 평행합니다. 따라서 △EAC = △EAB 입니다(밑변 AE가 같고 높이가 같음).
2. △EAB와 △CAF에서 AE = AC, AB = AF, ∠EAB = 90° + ∠CAB = ∠CAF 이므로 SAS 합동입니다. △EAB = △CAF 입니다.
3. CK ∥ AF 이므로 △CAF = △JAF 입니다(밑변 AF가 같고 높이가 같음).
4. △EAC는 □ACDE의 절반, △JAF는 □AFKJ의 절반이므로 □ACDE = □AFKJ 입니다.

같은 방법으로 □BHIC = □JKGB 를 보이면, 두 직사각형을 합친 것이 빗변 위의 정사각형이므로 a² + b² = c² 가 됩니다. 이 증명은 단계가 많아 한 번에 이해하기 어렵습니다. 수업에서는 넓이가 같은 삼각형을 같은 색으로 칠해 "넓이가 옮겨 가는" 과정을 그림 여러 장으로 보여 주면 효과적입니다.

증명 3: 직각삼각형의 닮음

∠A = 90° 인 직각삼각형 ABC에서 꼭짓점 A에서 빗변 BC에 수선 AH를 내리면, 크기가 다른 세 직각삼각형 △ABC, △HBA, △HAC가 생깁니다. △ABC와 △HBA는 ∠B가 공통이고 직각이 하나씩 있으므로 AA 닮음이고, 같은 이유로 △ABC ∽ △HAC 입니다. 닮음비에서 세 식이 나옵니다.

• △ABC ∽ △HBA 에서 AB : HB = BC : BA 이므로 AB² = BH × BC
• △ABC ∽ △HAC 에서 AC : HC = BC : AC 이므로 AC² = CH × CB
• △HBA ∽ △HAC 에서 HA : HC = HB : HA 이므로 AH² = BH × CH

앞의 두 식을 더하면 AB² + AC² = BC × (BH + CH) = BC × BC = BC² 이 되어 피타고라스 정리가 증명됩니다. 또 △ABC의 넓이를 두 가지로 나타내면 ½ × AB × AC = ½ × BC × AH 이므로 AB × AC = BC × AH 도 성립합니다.

피타고라스 정리의 활용

활용 문제의 요령은 하나입니다. 직각삼각형을 만든다. 직각삼각형이 보이지 않으면 수선을 내려 만듭니다. 사다리꼴, 이등변삼각형, 직사각형의 대각선 문제가 모두 이 방법으로 풀립니다.

직각삼각형의 세 변 위에 정사각형 대신 반원을 그려도 같은 관계가 성립합니다. 반원의 넓이는 지름의 제곱에 비례하므로, 두 변 위의 반원의 넓이의 합이 빗변 위의 반원의 넓이와 같습니다. 이 성질에서 유명한 초승달 모양 문제가 나옵니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 제곱근을 배우기 전이라면 답이 자연수가 되는 세 변을 고릅니다. 그 단계에서는 빗변이 √20 같은 값이 되면 답을 쓸 수 없습니다. 위 표의 세 수나 그 배수를 쓰거나, "x²의 값을 구하시오"로 묻습니다. 수와 연산 고려 사항에 "제곱근과 무리수는 피타고라스 정리를 이용하여 도입할 수 있다"고 되어 있으므로, 두 단원을 이어서 가르친다면 √20 같은 답이 오히려 제곱근을 도입하는 좋은 계기가 됩니다.
• 직각 기호를 반드시 넣습니다. 피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립합니다. 그림이 직각처럼 보여도 기호가 없으면 정리를 쓸 근거가 없습니다. 반대로 정리의 역을 묻는 문제라면 직각 기호를 지웁니다.
• 정리의 역을 묻는 그림은 모양으로 답을 주지 않습니다. 세 변이 6, 7, 9인 삼각형은 가장 큰 각이 약 87°라 그림으로는 직각처럼 보이지만 36 + 49 ≠ 81 이므로 직각삼각형이 아닙니다. "직각삼각형인가"를 묻는 문제는 그림 없이 세 변만 주거나, 그림을 넣더라도 계산으로 판단하라고 문장에 밝힙니다.
• 보조선(수선)은 풀이용 그림에만 넣습니다. 사다리꼴의 높이 문제에서 수선 AH, DK가 문제 그림에 있으면 풀이의 첫 단계가 드러납니다. 문제에서 수선을 줄지 말지는 난이도에 맞춰 정하고, 쌤로그 도판 도구에서 점선으로 켜고 끌 수 있습니다.
• 넓이 문제는 π를 쓸지 정합니다. 반원 넓이 문제는 답을 12.5π 처럼 π를 남겨 쓰는지, 초승달처럼 π가 없어지는지에 따라 그림에 적을 값이 다릅니다. 문제 문장과 그림의 표기를 맞춥니다.

자주 묻는 질문

빗변은 항상 가장 긴 변인가요?

네. 빗변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합이므로 각 변의 제곱보다 큽니다. 그래서 세 변 중 가장 긴 변이 빗변이고, 정리의 역을 쓸 때도 가장 긴 변의 제곱과 나머지 두 변의 제곱의 합을 비교합니다.

세 변이 5, 12, 13 이면 어느 각이 직각인가요?

가장 긴 변 13과 마주 보는 각이 직각입니다. 25 + 144 = 169 = 13² 이므로 길이가 5, 12인 두 변 사이의 각이 90°입니다.

x² = 20 처럼 답이 자연수가 아니면 어떻게 쓰나요?

제곱근을 배우기 전 단계라면 제곱해서 20이 되는 양수를 아직 기호로 나타낼 수 없으므로 "x² = 20"으로 답하게 하거나, 처음부터 답이 자연수가 되도록 수치를 정합니다. 제곱근을 배운 뒤라면 x = √20 = 2√5 로 나타냅니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.