중2 직각삼각형 수선의 발
∠A = 90°인 직각삼각형에서 빗변에 내린 수선 AH를 그립니다. 닮은 세 삼각형에서 나오는 네 가지 관계식과 어떤 두 변을 알 때 무엇을 구하는지 정리했습니다.
개념 정리
∠A = 90°, AH ⊥ BC 이면 △ABC, △HBA, △HAC 세 삼각형이 모두 닮았습니다. 각각 직각 하나와 ∠B 또는 ∠C 하나를 공유하기 때문입니다.
- AB² = BH × BC (△ABC ∽ △HBA)
- AC² = CH × CB (△ABC ∽ △HAC)
- AH² = BH × HC (△HBA ∽ △HAC)
- AB × AC = BC × AH (넓이를 두 가지로 계산)
앞의 두 식을 더하면 AB² + AC² = BC × (BH + HC) = BC² 이 되어 피타고라스 정리가 나옵니다. 그래서 이 그림은 피타고라스 정리 단원에서 증명 도구로도 쓰입니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- BH, HC를 주고 높이 AH를 묻는 문제(AH² = BH × HC)
- 두 직각변 AB, AC를 주고 AH를 묻는 문제(넓이 식 이용)
- AB와 BH를 주고 BC 또는 HC를 묻는 문제
- 세 삼각형의 닮음을 이용해 피타고라스 정리를 증명하는 서술형
예제 · 수선의 발과 세 변
∠A = 90°인 △ABC에서 AH ⊥ BC, BH = 9, HC = 16 일 때 AH, AB, AC의 길이를 구하시오.
AH² = 9 × 16 = 144 이므로 AH = 12 입니다.
BC = 25 이므로 AB² = 9 × 25 = 225, AB = 15, AC² = 16 × 25 = 400, AC = 20 입니다.
검산: AB × AC = 300, BC × AH = 25 × 12 = 300 으로 같고, 15² + 20² = 25² 도 맞습니다.
예제 · 두 직각변으로 높이 구하기
∠A = 90°, AB = 6, AC = 8 인 △ABC에서 AH ⊥ BC 일 때 AH와 BH를 구하시오.
BC² = 36 + 64 = 100 이므로 BC = 10 입니다.
AB × AC = BC × AH 에서 48 = 10 × AH, AH = 4.8 입니다.
AB² = BH × BC 에서 36 = BH × 10, BH = 3.6 입니다. 검산: HC = 6.4 이고 3.6 × 6.4 = 23.04 = 4.8² 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- "입력할 두 변"에서 BH·HC, AB·AC, BH·AB, HC·AC, AH·BH 가운데 문제에 주어진 짝을 고르면 나머지가 자동으로 계산됩니다.
- AB, AC 길이는 기본으로 숨겨 둡니다. 모두 적으면 그림이 복잡하고 답이 드러납니다.
- AH를 점선으로 바꾸면 "보조선을 그어 보시오" 문제로 쓸 수 있습니다. 직각 기호 두 개(∠A, ∠AHC)는 조건이므로 켜 둡니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- AB² = BH × HC 처럼 식의 짝을 섞습니다. 변 AB 옆에 붙은 조각은 BH 이고, 곱할 것은 빗변 전체 BC 입니다.
- 제곱근을 배우기 전 단원에서 쓰는 학습지에 답이 자연수가 되지 않는 값을 내면 풀 수 없습니다. 9와 16, 4와 9처럼 곱이 제곱수인 짝을 고릅니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.