중2 피타고라스 정리와 넓이
직각삼각형의 세 변 위 반원, 히포크라테스의 초승달, 네 직각삼각형으로 만든 정사각형, 이어 붙인 직각삼각형을 그립니다. 피타고라스 정리를 넓이로 쓰는 방법을 정리했습니다.
개념 정리
반원의 넓이는 π × (지름)² ÷ 8 이므로 지름의 제곱에 비례합니다. 직각삼각형에서 AC² + BC² = AB² 이면 두 직각변 위 반원의 넓이의 합이 빗변 위 반원의 넓이와 같습니다: P + Q = R. 정사각형 대신 반원을 올려도 피타고라스 정리가 성립하는 셈입니다.
빗변 쪽 큰 반원을 삼각형 위로 겹쳐 그리면 두 직각변 쪽에 초승달 모양이 생깁니다. (두 작은 반원) + △ABC − (큰 반원) = △ABC 이므로 두 초승달의 넓이의 합은 직각삼각형의 넓이와 같습니다. π가 사라지는 것이 핵심입니다.
두 직각변이 a, b, 빗변이 c인 직각삼각형 네 개를 한 변이 a + b인 정사각형 안에 돌려 놓으면 가운데에 넓이 c² 인 정사각형이 남습니다: (a + b)² − 4 × ½ab = a² + b². 빗변 c인 정사각형 안에 놓으면 가운데에 (a − b)² 이 남습니다. 둘 다 피타고라스 정리의 증명입니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 세 변 위의 반원: 두 반원의 넓이를 주고 나머지 하나를 묻는 문제(π를 남긴 꼴)
- 초승달 모양: 두 직각변만 주고 색칠한 부분의 넓이를 묻는 문제
- 네 직각삼각형: a, b로 안쪽 정사각형의 넓이를 구하고 증명과 연결하는 문제
- 이어 붙인 직각삼각형: 빗변의 제곱이 1씩 커지는 규칙으로 마지막 빗변을 묻는 문제
이 도판은 4가지 보기로 그릴 수 있습니다: 초승달 모양(히포크라테스), 세 변 위의 반원, 네 직각삼각형과 정사각형, 이어 붙인 직각삼각형.
예제 · 초승달 모양의 넓이
∠C = 90°, AC = 8, BC = 6 인 직각삼각형의 세 변을 지름으로 하는 반원을 그려 생긴 두 초승달 모양의 넓이의 합을 구하시오.
두 초승달의 넓이의 합은 △ABC의 넓이와 같으므로 ½ × 8 × 6 = 24 입니다.
검산: 두 작은 반원 π × 16 ÷ 2 + π × 9 ÷ 2 = 12.5π 가 빗변 위 반원 π × 25 ÷ 2 = 12.5π 와 같아 π 항이 지워집니다.
예제 · 네 직각삼각형과 정사각형
두 직각변이 7, 3인 직각삼각형 네 개를 한 변이 10인 정사각형 안에 돌려 놓았을 때 가운데 정사각형의 넓이를 구하시오.
10² − 4 × ½ × 7 × 3 = 100 − 42 = 58 입니다.
7² + 3² = 58 과 같습니다. 빗변 쪽에 놓는 배치라면 가운데는 (7 − 3)² = 16 이고 42 + 16 = 58 로 맞습니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 세 변 위 반원 보기는 넓이를 18π 꼴로 쓰는 것이 기본입니다. π를 빼고 수로만 쓰려면 "넓이를 π를 써서 나타내기"를 끕니다.
- 초승달 보기에서 빗변 AB는 기본으로 숨겨 둡니다. 두 직각변만으로 답이 나온다는 점이 문제의 핵심이기 때문입니다.
- 이어 붙인 직각삼각형은 2~8개까지 늘릴 수 있습니다. 제곱근을 배우기 전이면 "빗변의 제곱이 2, 3, 4, 5…"로 묻고, 배운 뒤에는 √2, √3 …으로 묻습니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 반원의 넓이를 지름으로 π × d² ÷ 2 로 계산해 네 배로 부풀립니다.
- 초승달 문제에서 반원 넓이를 모두 계산한 뒤 삼각형을 더하지 않고 빼서 음수가 나옵니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.