중2 피타고라스 정리와 정사각형
직각삼각형의 세 변 위에 정사각형을 그려 피타고라스 정리를 넓이로 보여 줍니다. 넓이로 묻는 문제와 길이로 묻는 문제를 오가는 방법을 정리했습니다.
개념 정리
∠C = 90°인 직각삼각형 ABC에서 AB² = BC² + AC² 입니다. 각 변 위에 정사각형을 그리면 빗변 위 정사각형의 넓이(R)가 나머지 두 정사각형의 넓이의 합(P + Q)과 같습니다.
이유: C에서 빗변에 수선을 내려 빗변 위 정사각형을 두 직사각형으로 나누면, 수선의 발 H에 대해 AC² = AH × AB, BC² = BH × AB 이므로 두 직사각형의 넓이가 각각 Q, P와 같습니다.
거꾸로 세 변의 길이가 a² + b² = c² 를 만족하면 직각삼각형입니다. 원문은 피타고라스 정리의 역을 "직관적으로 이해하게 하고", 세 변의 길이가 주어진 삼각형이 직각삼각형인지 판별하는 데 쓰게 한다고 적고 있습니다([9수03-15] 해설). 그래서 역은 증명보다 판별 문제에 씁니다. 자주 쓰는 세 수는 (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25)와 그 배수입니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 두 정사각형의 넓이를 주고 빗변 위 정사각형의 넓이를 x로 묻는 문제
- 빗변 위 정사각형과 한 정사각형의 넓이를 주고 나머지 변의 길이를 묻는 문제
- 세 변의 길이를 주고 직각삼각형인지 판별하는 문제
- 정사각형 넓이를 P, Q, R로 두고 P + Q = R 을 설명하는 서술형
이 도판은 2가지 보기로 그릴 수 있습니다: 넓이로 묻기, 길이로 묻기.
예제 · 넓이에서 길이로
직각삼각형의 빗변 위 정사각형의 넓이가 169, 한 직각변 위 정사각형의 넓이가 25 이다. 나머지 직각변의 길이를 구하시오.
나머지 정사각형의 넓이는 169 − 25 = 144 입니다.
한 변의 길이는 제곱해서 144가 되는 양수이므로 12 입니다.
검산: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² 입니다.
예제 · 직각삼각형 판별
세 변의 길이가 (가) 9, 12, 15 (나) 6, 8, 11 인 삼각형은 각각 직각삼각형인가?
(가) 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15² 이므로 직각삼각형입니다. (3, 4, 5)의 3배입니다.
(나) 6² + 8² = 100, 11² = 121 로 같지 않으므로 직각삼각형이 아닙니다. 가장 긴 변을 c 자리에 놓고 비교합니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- "넓이로 묻기"는 정사각형 안에 넓이를, "길이로 묻기"는 변 옆에 길이를 씁니다. 같은 개념을 두 방향으로 연습시킬 수 있습니다.
- 넓이 앞에 P, Q, R을 쓰면 식 P + Q = R 과 그림을 연결하기 쉽습니다. 수치 문제에서는 꺼서 간결하게 합니다.
- 제곱근을 배우기 전에 쓰는 학습지라면 넓이를 제곱수(9, 16, 25, 144 등)로 맞춰 답에 근호가 나오지 않게 합니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 빗변이 아닌 변의 정사각형을 합으로 씁니다. 가장 큰 정사각형은 항상 직각의 맞은편(빗변) 위에 있습니다.
- 넓이 169 를 그대로 길이로 적습니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.