평행사변형이 되는 조건과 여러 사각형의 대각선 성질

중2 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

사각형 단원은 성질이 많아 보이지만 출발점은 하나입니다. 평행사변형에 대각선을 그으면 합동인 삼각형 두 개가 생기고, 여기서 대변·대각·대각선의 성질이 모두 나옵니다. 직사각형, 마름모, 정사각형은 평행사변형에 조건을 하나씩 더한 사각형이므로 평행사변형의 성질을 그대로 물려받습니다.

이 글에서는 평행사변형의 성질 → 평행사변형이 되는 조건 → 여러 사각형의 대각선 → 평행선과 넓이 순서로 정리합니다. 마지막에는 사각형 그림을 시험지에 넣을 때 조건이 그림으로 잘못 전달되지 않도록 챙길 점을 모았습니다.

평행사변형의 성질

두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형이 평행사변형입니다. 평행사변형 ABCD에 대각선 AC를 그으면 AB ∥ DC 에서 엇각 ∠BAC = ∠DCA, AD ∥ BC 에서 엇각 ∠DAC = ∠BCA 이고 AC가 공통이므로 △ABC ≡ △CDA (ASA 합동)입니다. 이 합동에서 다음 성질이 나옵니다.

1. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같습니다. AB = DC, AD = BC
2. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같습니다. ∠A = ∠C, ∠B = ∠D
3. 두 대각선은 서로를 이등분합니다. 대각선의 교점을 O라 하면 OA = OC, OB = OD

셋째 성질은 대각선 두 개를 모두 그은 뒤 △OAB와 △OCD가 ASA 합동임을 보여 증명합니다. 또 변 BA를 A 쪽으로 늘여 보면 AD ∥ BC 이므로 ∠B와 ∠A의 외각이 동위각으로 같습니다. 따라서 이웃한 두 각의 합은 ∠A + ∠B = 180° 입니다. 한 각만 알면 네 각을 모두 알 수 있습니다.

평행사변형이 되는 조건

성질을 거꾸로 하면 조건이 됩니다. 사각형이 다음 가운데 하나를 만족하면 평행사변형입니다. 증명 문제에서는 어느 조건을 썼는지 반드시 밝혀야 합니다.

1. 두 쌍의 대변이 각각 평행하다. (정의)
2. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
3. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
4. 두 대각선이 서로를 이등분한다.
5. 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.

다섯째 조건은 "평행한 그 대변의 길이가 같다"는 뜻입니다. 한 쌍은 평행하고 다른 한 쌍은 길이가 같은 사각형은 평행사변형이 아닐 수 있습니다. 등변사다리꼴이 바로 그 반례입니다. 학생들이 자주 틀리는 부분이므로 반례 그림을 함께 보여 주는 것이 좋습니다.

그림은 평행사변형 ABCD의 변 AD, BC 위에 AE = CF 가 되도록 두 점 E, F를 잡은 것입니다. AD ∥ BC 이므로 ED ∥ BF 이고, ED = AD − AE = BC − CF = BF 입니다. 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 □EBFD는 평행사변형이고, 따라서 DF = BE = 5 입니다. AD = 9, AE = 3 이라면 ED = BF = 6 도 함께 알 수 있습니다.

여러 가지 사각형과 대각선

[9수03-11] 해설은 사각형의 성질을 대각선에 관한 성질을 위주로 다루고, 여러 가지 사각형의 성질을 통해 사각형 사이의 관계를 설명하게 합니다. 이 절의 표가 그 두 가지를 한 번에 보여 줍니다.

직사각형은 네 각이 모두 직각, 마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형입니다. 둘 다 평행사변형이므로 대각선이 서로를 이등분하고, 여기에 한 가지 성질이 더 붙습니다. 직사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 마름모의 두 대각선은 서로 수직입니다. 정사각형은 두 성질을 모두 가집니다.

표를 거꾸로 읽으면 조건이 됩니다. 평행사변형에서 한 내각이 직각이거나 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이 되고, 이웃한 두 변의 길이가 같거나 두 대각선이 수직이면 마름모가 됩니다. 직사각형에 마름모의 조건을 하나 더하거나, 마름모에 직사각형의 조건을 하나 더하면 정사각형입니다.

그림의 마름모에서 ∠ABD = 28° 이면 두 대각선이 수직이므로 △ABO에서 ∠BAO = 90° − 28° = 62° 입니다. 같은 방법으로 직사각형에서는 대각선의 교점 O에서 네 꼭짓점까지의 거리가 모두 같으므로 △OAB가 이등변삼각형이 되고, 밑각이 같다는 성질로 각을 구합니다. 사각형의 각 문제는 대부분 "대각선이 만드는 작은 삼각형이 어떤 삼각형인가"를 찾는 문제입니다.

등변사다리꼴은 아랫변의 양 끝 각이 같은 사다리꼴입니다. 평행사변형은 아니지만 평행하지 않은 두 변의 길이가 같고 두 대각선의 길이가 같습니다. 윗변의 한 끝에서 다른 옆변에 평행한 선을 그으면 평행사변형과 이등변삼각형으로 나뉘어 길이를 구하기 쉬워집니다.

평행선과 넓이

밑변이 같고 높이가 같은 삼각형은 넓이가 같습니다. 두 직선 l ∥ m 에서 l 위의 두 점 A, D와 m 위의 두 점 B, C를 잡으면 △ABC와 △DBC는 밑변 BC가 같고 높이가 두 평행선 사이의 거리로 같으므로 넓이가 같습니다. 꼭짓점이 평행선을 따라 움직여도 넓이가 변하지 않는다는 이 성질이 사각형 넓이 문제의 기본 도구입니다. 평행선과 넓이의 관계는 원문에 따로 이름이 적혀 있지 않으며, 평행사변형의 성질([9수03-11])과 삼각형의 넓이를 이어 쓰는 응용입니다.

평행사변형 안의 한 점에 대한 성질도 같은 원리입니다. 평행사변형 ABCD의 내부의 점 P에 대해 △PAB + △PCD = △PBC + △PDA = □ABCD × ½ 입니다. △PAB와 △PCD는 밑변 AB, CD의 길이가 같고, 두 높이의 합이 두 변 AB, CD 사이의 거리와 같기 때문입니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 평행사변형을 직사각형처럼 그리지 않습니다. 기울어짐이 작으면 학생이 네 각을 직각으로 보고 "대각선의 길이가 같다"를 잘못 씁니다. 옆변을 눈에 띄게 기울여 그립니다.
• 평행 표시와 같은 길이 표시로 조건을 보여 줍니다. 문제 문장에 "평행사변형"이라고 적었더라도 그림에 평행 화살표가 있으면 엇각을 찾기 쉬워집니다. 반대로 평행사변형이 되는 조건을 묻는 문제라면 증명해야 할 성질인 평행 표시는 지웁니다.
• 마름모와 정사각형의 대각선은 직각 기호를 선택적으로 넣습니다. 대각선이 수직이라는 것을 쓰게 하려는 문제라면 직각 기호를 빼고, 계산만 연습시키려면 넣습니다.
• 넓이 문제는 색칠이나 빗금으로 구할 부분을 분명히 합니다. 대각선 교점 주변의 작은 삼각형은 이름만으로 구별하기 어렵습니다. 쌤로그 도판 도구에서는 색칠할 부분을 고르면 해당 삼각형만 빗금으로 칠해집니다.
• 넓이 값은 그림 안에, 구하는 값은 x로 둡니다. 숫자가 삼각형 밖에 있으면 어느 조각의 넓이인지 헷갈립니다. 조각 안쪽 가운데에 적고, 조각이 좁으면 그림을 키웁니다.

자주 묻는 질문

직사각형이나 마름모도 평행사변형인가요?

네. 직사각형은 두 쌍의 대각이 모두 90°로 같고, 마름모는 두 쌍의 대변의 길이가 같으므로 모두 평행사변형이 되는 조건을 만족합니다. 그래서 평행사변형의 성질(대각선이 서로를 이등분 등)을 그대로 씁니다.

두 대각선의 길이가 같은 사각형은 모두 직사각형인가요?

아닙니다. 등변사다리꼴도 두 대각선의 길이가 같습니다. 대각선의 길이가 같다는 조건은 평행사변형이라는 것이 먼저 확인되었을 때만 직사각형의 조건이 됩니다.

평행선과 넓이 문제에서 높이가 같다는 것은 어떻게 설명하나요?

평행한 두 직선 사이의 거리는 어디서 재어도 같습니다. 한 직선 위의 어느 점에서 다른 직선에 수선을 내려도 그 길이가 같으므로, 꼭짓점이 한 평행선 위에 있고 밑변이 다른 평행선 위에 있는 삼각형들은 높이가 모두 같습니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.