중2 여러 가지 사각형의 성질
직사각형·마름모·정사각형·등변사다리꼴의 대각선과 각을 그립니다. 평행사변형에 조건이 더해질 때 대각선에 어떤 성질이 생기는지와 계산 문제를 정리했습니다.
개념 정리
직사각형은 네 각이 모두 직각인 사각형으로, 두 대각선의 길이가 같고 서로를 이등분합니다. 그래서 OA = OB = OC = OD 이고 △OAB는 이등변삼각형입니다. 마름모는 네 변의 길이가 같고, 두 대각선이 서로를 수직이등분합니다. 정사각형은 두 성질을 모두 가집니다. 원문도 사각형의 성질은 대각선에 관한 성질을 위주로 다루고, 여러 가지 사각형의 성질로 사각형 사이의 관계를 설명하게 한다고 적고 있습니다([9수03-11] 해설).
마름모의 넓이는 (대각선) × (대각선) ÷ 2 입니다. 대각선이 나눈 네 직각삼각형이 합동이므로 한 변은 대각선의 절반 두 개로 피타고라스 정리를 써서 구합니다.
등변사다리꼴은 아랫변의 양 끝 각이 같은 사다리꼴로, 두 옆변의 길이가 같고 두 대각선의 길이도 같습니다. 윗변 양 끝에서 수선을 내리면 양쪽에 합동인 직각삼각형이 생겨 BH = (BC − AD) ÷ 2 입니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 직사각형: ∠OBC를 주고 ∠AOB를, OD를 주고 대각선 AC를 묻는 문제
- 마름모: 두 대각선으로 한 변·넓이·둘레를 묻는 문제, ∠ABD로 ∠BAC를 묻는 문제
- 정사각형과 정삼각형: 정삼각형이 안에 있을 때 ∠AED = 150°, 밖에 있을 때 ∠AED = 30°
- 등변사다리꼴: 수선을 그어 높이를 구하거나, 한 옆변에 평행한 선을 그어 정삼각형을 만드는 문제
이 도판은 4가지 보기로 그릴 수 있습니다: 직사각형, 마름모, 정사각형과 정삼각형, 등변사다리꼴.
예제 · 마름모의 대각선
두 대각선의 길이가 10, 24 인 마름모의 한 변의 길이, 넓이, 둘레를 구하시오.
대각선은 서로를 수직이등분하므로 네 직각삼각형의 두 변은 5, 12 입니다.
한 변² = 25 + 144 = 169 이므로 한 변은 13, 둘레는 52 입니다.
넓이는 10 × 24 ÷ 2 = 120 입니다. 검산: 직각삼각형 4개 = 4 × ½ × 5 × 12 = 120 입니다.
예제 · 정사각형 안의 정삼각형
정사각형 ABCD 안에 정삼각형 EBC가 있을 때 ∠AED를 구하시오.
∠ABE = 90° − 60° = 30° 이고 BA = BE 이므로 ∠BAE = (180° − 30°) ÷ 2 = 75° 입니다.
∠DAE = 90° − 75° = 15°, 같은 방법으로 ∠ADE = 15° 이므로 ∠AED = 180° − 30° = 150° 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 직사각형의 직각 표시와 대각선의 같은 길이 표시는 기본으로 꺼 두었습니다. "직사각형 ABCD"라고 글로 주면 그림을 깔끔하게 둘 수 있습니다.
- 마름모의 대각선 직각 표시는 학생이 보여야 할 성질이므로 처음에는 꺼져 있습니다. 개념 설명 그림에서만 켭니다.
- 등변사다리꼴은 "풀이 방법"에 따라 수선(높이) 또는 평행선(다리 길이) 보조선이 달라집니다. 시험지에는 보조선을 끄고, 해설지에만 켭니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 마름모의 대각선 길이가 같다고 씁니다(같은 것은 직사각형).
- 마름모의 넓이를 대각선의 곱으로 두고 ÷ 2 를 빠뜨립니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.