중2 연립방정식의 해와 두 직선

중2 · 일차함수와 일차방정식 · 최종 수정 2026-09-30

연립일차방정식의 해를 두 직선의 교점으로 나타내고, 해가 없거나 무수히 많은 경우와 한 점을 지나는 직선이 선분과 만나는 조건을 그립니다. 계수의 비 판단법을 정리했습니다.

이 도판 값 바꿔 만들기

개념 정리

연립방정식의 해는 두 일차방정식의 그래프가 만나는 점의 좌표입니다. x + y = 5와 2x − y = 1을 더하면 3x = 6, x = 2, y = 3이고, 두 직선 y = −x + 5와 y = 2x − 1은 점 (2, 3)에서 만납니다.

두 직선이 한 점에서 만나면 해가 1개, 평행하면 해가 없고, 일치하면 해가 무수히 많습니다. ax + by = c와 a′x + b′y = c′에서 a/a′ = b/b′ ≠ c/c′이면 평행, a/a′ = b/b′ = c/c′이면 일치입니다. x + 2y = 4와 2x + 4y = −4는 기울기가 −1/2로 같고 y절편이 달라 해가 없습니다.

y = a(x − 1) − 1은 a의 값에 관계없이 점 (1, −1)을 지나는 직선입니다. a를 바꾸면 이 점을 중심으로 직선이 돌기 때문에, 선분 AB와 만나는 a의 범위는 A, B를 지날 때의 기울기 사이입니다.

시험·학습지에 자주 나오는 형태

• 두 직선의 교점: 교점 (2, 3)을 주고 ax + y = 7, x − by = 1의 a = 2, b = 1/3 구하기
• 해가 없거나 무수히 많은 경우: 계수의 비로 미지의 계수 구하기, 그래프가 평행·일치하는 그림 고르기
• 한 점을 지나는 직선과 선분: A(2, 3), B(4, 2)일 때 y = a(x − 1) − 1이 선분 AB와 만나는 범위 1 ≤ a ≤ 4
• 세 직선이 한 점에서 만날 조건: 두 직선의 교점을 셋째 식에 넣어 상수 구하기

이 도판은 3가지 보기로 그릴 수 있습니다: 두 직선의 교점, 해가 없거나 무수히 많은 경우, 한 점을 지나는 직선과 선분.

도판을 만들 때 챙길 점

• 교점 보기는 계수를 문자로 숨길 수 있어 "교점이 (2, 3)일 때 a, b를 구하시오" 꼴을 만들 수 있습니다. 교점 좌표를 숨기면 해를 구하는 문제가 됩니다.
• 해가 특수한 경우 보기는 해의 개수(없음·무수히 많음)와 둘째 식의 계수가 첫째 식의 몇 배인지를 정합니다. 해가 없는 경우 두 평행선의 y절편 차가 작으면 겹쳐 보이므로 상수항을 충분히 다르게 잡습니다.
• "직선의 식"을 끄면 이름 l, m만 남아 그래프로 해의 개수를 판단하는 문제에 씁니다.
• 한 점을 지나는 직선 보기의 경계 직선(점선)과 a의 값은 정답지용입니다.

학생들이 자주 틀리는 부분

• 기울기만 같으면 해가 없다고 답해 일치하는 경우(해가 무수히 많음)를 빠뜨립니다.
• 계수의 비를 세울 때 음수 계수의 부호를 빼먹습니다.
• 회전하는 직선의 범위에서 A를 지날 때와 B를 지날 때의 기울기 중 어느 쪽이 큰지 확인하지 않고 부등호를 거꾸로 씁니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.