중2 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분
삼각형의 두 변의 중점을 이은 선분(중점 연결 정리)을 삼각형, 세 중점 삼각형, 사각형, 사다리꼴에서 그립니다. 평행과 1/2 관계를 길이·둘레 계산에 쓰는 방법을 정리했습니다.
개념 정리
△ABC에서 AB, AC의 중점을 M, N이라 하면 MN ∥ BC, MN = ½BC 입니다. AM : AB = AN : AC = 1 : 2 이고 ∠A가 공통이므로 △AMN ∽ △ABC(SAS 닮음)이고, 대응각 ∠AMN = ∠B 에서 평행이 나옵니다.
거꾸로 AB의 중점 M을 지나고 BC에 평행한 직선은 AC의 중점을 지납니다. 세 변의 중점 D, E, F로 만든 △DEF는 둘레가 △ABC의 ½이고, 네 작은 삼각형이 합동이라 넓이는 ¼ 입니다.
사각형 ABCD의 네 변의 중점을 이은 □PQRS는 두 쌍의 대변이 각각 대각선 AC, BD와 평행하므로 평행사변형이고, 둘레는 AC + BD 입니다. 사다리꼴(AD ∥ BC)에서 두 옆변의 중점을 이은 MN = (AD + BC) ÷ 2, MN과 두 대각선의 교점 P, Q 사이 PQ = (BC − AD) ÷ 2 입니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 두 변의 중점: BC를 주고 MN을, 또는 MN을 주고 BC를 묻는 문제
- 세 중점으로 만든 삼각형: 세 변으로 △DEF의 둘레(= 둘레의 ½)를 묻는 문제
- 사각형의 네 변의 중점: 두 대각선의 길이로 □PQRS의 둘레를 묻는 문제
- 사다리꼴: 두 밑변으로 MN과 PQ를 x, y로 함께 묻는 문제
이 도판은 4가지 보기로 그릴 수 있습니다: 두 변의 중점, 세 중점으로 만든 삼각형, 사각형의 네 변의 중점, 사다리꼴의 두 변의 중점.
예제 · 사다리꼴의 두 변의 중점
AD ∥ BC, AD = 7, BC = 13 인 사다리꼴에서 AB, DC의 중점을 M, N이라 하고 MN이 두 대각선 BD, AC와 만나는 점을 P, Q라 할 때 MN과 PQ를 구하시오.
△ABC에서 MQ = 13 ÷ 2 = 6.5, △ACD에서 QN = 7 ÷ 2 = 3.5 이므로 MN = 10 입니다.
△ABD에서 MP = 7 ÷ 2 = 3.5 이므로 PQ = 6.5 − 3.5 = 3 입니다. 공식 (13 − 7) ÷ 2 = 3 과 같습니다.
예제 · 사각형의 네 변의 중점
두 대각선의 길이가 12, 9 인 사각형의 네 변의 중점을 차례로 이은 사각형의 둘레를 구하시오.
마주 보는 두 변은 각각 12 ÷ 2 = 6, 9 ÷ 2 = 4.5 이므로 둘레는 2 × (6 + 4.5) = 21 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 같은 길이 표시는 "M, N이 중점"이라는 조건이므로 켜 둡니다. 표시가 없으면 문제에 중점이라고 적어야 합니다.
- 두 변의 중점 보기의 평행 표시(보여야 할 성질)는 기본으로 꺼 두었습니다. 증명 문제에서는 끄고, 계산 문제에서는 켜도 됩니다.
- 세 중점 삼각형과 사각형 보기에서 작은 도형 각 변의 길이는 숨겨 두었습니다. 둘레만 x로 묻는 것이 기본입니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 사다리꼴의 MN을 BC ÷ 2 로만 계산해 윗변 AD를 빠뜨립니다.
- 사각형의 네 중점으로 만든 사각형이 항상 직사각형이라고 생각합니다(대각선이 수직일 때만 직사각형, 대각선의 길이가 같을 때 마름모).
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.