중2 모래시계형 닮음
평행한 두 선분과 엇갈린 두 선분이 만드는 모래시계(나비) 모양 닮음을 그립니다. 대응점 찾는 법, 닮음비와 넓이의 비를 정리했습니다.
개념 정리
AB ∥ CD 이고 선분 AD와 BC가 점 O에서 만나면 ∠OAB = ∠ODC, ∠OBA = ∠OCD(엇각)이고 ∠AOB = ∠DOC(맞꼭지각)입니다. 따라서 △OAB ∽ △ODC(AA 닮음)입니다.
대응점은 A ↔ D, B ↔ C 입니다. 모양이 위아래로 뒤집혀 있어 같은 쪽 끝끼리 짝짓지 않습니다. 비례식은 AB : DC = AO : OD = BO : OC 입니다.
닮음비가 m : n 이면 넓이의 비는 m² : n² 입니다. A, B, D, C를 차례로 이으면 사다리꼴이 되고, 이때 양옆의 두 삼각형 △OAC와 △OBD는 넓이가 같습니다(△ACD = △BCD 에서 △OCD 를 뺌).
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 평행한 두 변과 한쪽 대각선 조각을 주고 다른 조각 OD를 x로 묻는 문제
- 닮음비를 이용해 두 삼각형의 넓이의 비나 넓이를 묻는 문제
- 사다리꼴 ABCD(AD ∥ BC)의 대각선 교점 O에서 AO : OC 를 묻는 문제
- 맞꼭지각과 엇각으로 닮음을 증명하는 서술형
- 한 꼭짓점을 공유하고 밑변이 한 직선 위에 있는 두 삼각형의 넓이 비(= 밑변의 비)까지 묻는 복합 문제
예제 · 모래시계형 닮음과 넓이
AB ∥ CD 이고 AD와 BC가 점 O에서 만난다. AB = 6, CD = 10, AO = 4.5 이고 △OAB의 넓이가 18일 때, OD의 길이와 △ODC의 넓이를 구하시오.
△OAB ∽ △ODC 이므로 AB : DC = AO : OD, 6 : 10 = 4.5 : OD, OD = 7.5 입니다.
닮음비가 3 : 5 이므로 넓이의 비는 9 : 25 입니다.
△ODC = 18 × 25/9 = 50 입니다.
덧붙여 △OBD 는 △OAB 와 높이가 같고 밑변의 비가 AO : OD = 3 : 5 이므로 18 × 5/3 = 30 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 맞꼭지각 표시와 평행 표시는 닮음의 근거입니다. 증명 문제에서는 평행 표시만 남기고 각은 학생이 찾게 합니다.
- "윗변 기울기" 값으로 모래시계의 기울어진 정도를 바꿀 수 있습니다. 대칭에 가까운 모양은 대응점이 같은 쪽처럼 보이므로 조금 기울여 두는 편이 낫습니다.
- AO가 너무 짧으면 그림이 만들어지지 않는다는 안내가 나옵니다. 이때 AO를 늘리거나 기울기를 줄입니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- AB : CD = AO : OC 처럼 같은 선분 위의 조각끼리 짝짓습니다. AO와 짝이 되는 것은 OD 입니다.
- 넓이의 비를 닮음비 그대로(3 : 5) 씁니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.