중2 A자형 평행선
삼각형의 한 변에 평행한 선분이 만드는 A자 모양 닮음을 그립니다. 평행선이 하나일 때와 두 개일 때 선분의 비와 평행사변형을 이용하는 방법을 정리했습니다.
개념 정리
△ABC에서 DE ∥ BC이면 ∠ADE = ∠B(동위각)이고 ∠A가 공통이므로 △ADE ∽ △ABC(AA 닮음)입니다. 여기서 두 가지 비가 나옵니다.
- AD : AB = AE : AC = DE : BC (닮음비, 평행선 길이에 쓰는 비)
- AD : DB = AE : EC (변을 나눈 비, DE 길이에는 쓸 수 없음)
평행선이 두 개인 보기에서는 DE ∥ BC, DF ∥ AC 입니다. □DFCE는 두 쌍의 대변이 평행한 평행사변형이므로 FC = DE, EC = DF 가 되어 선분을 옮겨 가며 길이를 구할 수 있습니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 한 평행선: AD, DB, AE를 주고 EC를 x로 묻는 비례식
- 한 평행선: AD, DB, BC를 주고 평행선 DE의 길이를 묻는 문제(AD : AB 사용)
- 두 평행선: □DFCE가 평행사변형임을 이용해 BF, DF를 x, y로 함께 묻는 문제
- "DE ∥ BC 인지 판별하시오"처럼 AD : DB 와 AE : EC 를 비교하는 역방향 문제
이 도판은 2가지 보기로 그릴 수 있습니다: 한 평행선(A자), 두 평행선과 평행사변형.
예제 · 평행선과 선분의 길이
△ABC에서 DE ∥ BC 이고 AD = 5, DB = 3, AE = 4, BC = 16 일 때 EC와 DE의 길이를 구하시오.
AD : DB = AE : EC 이므로 5 : 3 = 4 : EC, EC = 12/5 = 2.4 입니다.
DE 는 AD : AB = DE : BC 로 구합니다. AB = 8 이므로 5 : 8 = DE : 16, DE = 10 입니다.
검산: AE : AC = 4 : 6.4 = 5 : 8 로 닮음비와 같습니다.
예제 · 두 평행선과 평행사변형
△ABC에서 DE ∥ BC, DF ∥ AC 이고 AD = 3, DB = 2, BC = 10, AC = 10 이다. BF와 DF의 길이를 구하시오.
AD : AB = 3 : 5 이므로 DE = 10 × 3/5 = 6, □DFCE가 평행사변형이므로 FC = 6, BF = 10 − 6 = 4 입니다.
BD : BA = 2 : 5 = DF : AC 이므로 DF = 4 이고, EC = DF = 4 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 기본값에서는 DE 길이를 숨겨 둡니다. DE와 AE가 같은 수로 나오면 학생이 헷갈리기 때문입니다. DE를 묻는 문제일 때만 켭니다.
- 평행 표시는 "DE ∥ BC" 조건 자체이므로 문제에 조건을 글로 쓰지 않았다면 반드시 켭니다.
- 두 평행선 보기에서 BC와 AC의 길이 차가 너무 크면(네 배 이상) 점 F 근처가 좁아집니다. 비슷한 길이로 고르면 치수가 겹치지 않습니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- DE 를 구할 때 AD : DB = DE : BC 로 식을 세웁니다. DE와 짝이 되는 것은 AB 전체입니다.
- 평행사변형 DFCE에서 BF = DE 라고 옮깁니다. DE와 같은 것은 FC 입니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.