중2 사다리꼴 대각선과 평행선
사다리꼴의 두 대각선의 교점을 지나고 밑변에 평행한 선분 EF를 그립니다. EF가 두 밑변의 평균이 아니라 2ab/(a + b)가 되는 이유와 계산법을 정리했습니다.
개념 정리
사다리꼴 ABCD(AD ∥ BC)에서 AD = a, BC = b, 대각선의 교점을 O라 합니다. △OAD ∽ △OCB(모래시계형)이므로 AO : OC = a : b 입니다.
△ABC에서 EO ∥ BC 이므로 EO : BC = AO : AC = a : (a + b), 곧 EO = ab/(a + b) 입니다. △DBC에서 같은 방법으로 OF = ab/(a + b) 이므로 점 O는 EF의 중점입니다.
따라서 EF = 2ab/(a + b) 입니다. 이 값은 두 옆변 AB, DC의 중점을 이은 선분 (a + b)/2 보다 항상 짧거나 같습니다(a = b 일 때만 같음).
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 두 밑변을 주고 EF 또는 EO를 x로 묻는 문제
- EF와 한 밑변을 주고 다른 밑변을 묻는 역방향 문제
- AO : OC 와 E가 AB를 나누는 비(AE : EB = a : b)를 함께 묻는 문제
- 두 옆변의 중점을 이은 선분과 EF 의 길이를 비교하는 문제
예제 · 대각선의 교점을 지나는 평행선
AD ∥ BC 인 사다리꼴에서 AD = 10, BC = 15 이다. 두 대각선의 교점 O를 지나고 BC에 평행한 직선이 AB, DC와 만나는 점을 E, F라 할 때 EF의 길이를 구하시오.
AO : OC = 10 : 15 = 2 : 3 이므로 AO : AC = 2 : 5 입니다.
EO = 15 × 2/5 = 6, 같은 방법으로 OF = 6 이므로 EF = 12 입니다.
공식 2 × 10 × 15 ÷ 25 = 12 와 같고, 두 옆변의 중점을 이은 선분 12.5 보다 짧습니다.
예제 · 밑변 거꾸로 구하기
같은 모양에서 AD = 6, EF = 8 일 때 BC를 구하시오.
2 × 6 × BC ÷ (6 + BC) = 8 이므로 12BC = 48 + 8BC, BC = 12 입니다.
검산: 2 × 6 × 12 ÷ 18 = 8 입니다. EF는 주어진 밑변 AD의 2배(12)보다 짧아야 답이 나옵니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- EF 전체 길이는 치수선으로 표시됩니다. EO·OF로 나누어 표시하면 학생이 보여야 할 "O가 EF의 중점"이라는 성질이 드러나므로 풀이용 그림에만 씁니다.
- "높이(모양)"로 사다리꼴의 높이를 바꿀 수 있습니다. 높이가 낮으면 대각선이 거의 겹쳐 점 O 근처가 읽히지 않습니다.
- 윗변이 아랫변의 다섯 배를 넘으면 EF의 치수가 BC에 겹쳐 입력이 막힙니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- EF를 두 밑변의 평균 (a + b)/2 로 계산합니다. 그 값은 두 옆변의 중점을 이은 선분입니다.
- EO : BC 를 AO : OC 로 세웁니다. 짝은 AO : AC(전체)입니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.