중2 삼각형의 각의 이등분선
삼각형의 내각의 이등분선과 외각의 이등분선이 대변을 나누는 비, 이등분선으로 나뉜 두 삼각형의 넓이의 비를 그립니다. 비례식이 나오는 이유와 계산법을 정리했습니다.
개념 정리
△ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC와 만나는 점을 D라 하면 AB : AC = BD : DC 입니다. C를 지나고 AD에 평행한 직선이 BA의 연장선과 만나는 점을 E라 하면 엇각·동위각으로 ∠ACE = ∠AEC 가 되어 AE = AC 이고, 평행선에서 BA : AE = BD : DC 이기 때문입니다. 원문 성취기준에 이 성질의 이름은 따로 나오지 않으며, 이 설명처럼 평행선 사이의 선분의 길이의 비([9수03-14])에서 이어지는 내용입니다. 외각의 이등분선까지 얼마나 다룰지는 쓰는 교과서로 확인합니다.
∠A의 외각의 이등분선이 BC의 연장선과 만나는 점을 D라 하면 AB : AC = BD : CD 입니다. 이때 D는 선분 BC 밖에 있어 BD = BC + CD(AB > AC 일 때)입니다.
이등분선 위의 점 D에서 두 변까지의 거리는 같으므로(DE = DF) △ABD와 △ADC를 AB, AC를 밑변으로 보면 높이가 같습니다. 따라서 △ABD : △ADC = AB : AC 입니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 내각의 이등분선: AB, AC, BD를 주고 DC를 x로, 또는 BC 전체를 주고 BD를 묻는 문제
- 외각의 이등분선: AB, AC, BC를 주고 CD를 묻는 문제
- 넓이의 비: △ABC의 넓이를 AB : AC 로 나누는 문제
- 이등분선 비의 증명 과정에서 빈칸(엇각, 동위각, 이등변삼각형)을 채우는 서술형
이 도판은 3가지 보기로 그릴 수 있습니다: 내각의 이등분선, 외각의 이등분선, 넓이의 비.
예제 · 내각의 이등분선
AB = 10, AC = 6, BC = 12 인 △ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC와 만나는 점을 D라 할 때 BD와 DC를 구하시오.
BD : DC = 10 : 6 = 5 : 3 이므로 BD = 12 × 5/8 = 7.5, DC = 12 × 3/8 = 4.5 입니다.
예제 · 외각의 이등분선
AB = 8, AC = 5, BC = 6 인 △ABC에서 ∠A의 외각의 이등분선이 BC의 연장선과 만나는 점을 D라 할 때 CD를 구하시오.
8 : 5 = (6 + CD) : CD 이므로 8CD = 30 + 5CD, CD = 10 입니다.
검산: BD = 16, 16 : 10 = 8 : 5 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 같은 각 표시는 "AD가 ∠A의 이등분선"이라는 조건이므로 켜 둡니다.
- 넓이 보기의 "두 변에 내린 수선"은 높이가 같다는 풀이 보조선이라 처음 열면 표시되지 않습니다. ∠A를 둔각으로 바꾸면 둔각삼각형에서도 넓이의 비가 AB : AC 로 그대로임을 보여 줄 수 있습니다.
- BC 전체 길이는 기본으로 숨겨 둡니다. 조각과 전체를 모두 적으면 답이 드러납니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- AB : AC = DC : BD 처럼 뒤집어 짝짓습니다. B 쪽 변 AB는 B 쪽 조각 BD와 짝입니다.
- 외각의 이등분선에서 CD를 BC 위의 조각처럼 BC − CD 로 계산합니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.