삼각비의 뜻과 특수각, 높이·거리·넓이 활용까지

중3 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

삼각비는 "각의 크기만 알면 변의 길이의 비가 정해진다"는 사실에서 출발합니다. 직각삼각형의 한 예각이 30°이면 삼각형이 크든 작든 빗변과 높이의 비는 항상 2 : 1 입니다. 이 성질 덕분에 직접 잴 수 없는 건물의 높이나 강의 폭을 각도와 한 변의 길이만으로 계산할 수 있습니다.

이 글에서는 삼각비의 뜻 → 특수각의 값 → 사분원으로 보는 삼각비 → 높이·거리 활용 → 높이로 넓이 구하기 순서로 정리하고, 삼각비 문제용 그림을 만들 때 확인할 점을 덧붙입니다.

삼각비의 뜻: 직각삼각형 변의 비

∠C = 90° 인 직각삼각형 ABC에서 ∠A 를 기준으로 세 변을 부릅니다. ∠A 의 맞은편 변 BC를 높이, ∠A 를 끼고 있는 변 AC를 밑변, 직각의 맞은편 변 AB를 빗변이라 할 때

sin A = (높이) ÷ (빗변) = BC/AB, cos A = (밑변) ÷ (빗변) = AC/AB, tan A = (높이) ÷ (밑변) = BC/AC

입니다. 이 값들이 삼각형의 크기와 관계없는 이유는 닮음입니다. ∠A 가 같은 두 직각삼각형은 두 각이 같아 AA 닮음이므로 대응하는 변의 비가 같습니다. 그래서 sin A 는 오직 ∠A 의 크기에 따라 정해지는 값입니다.

교육과정 원문은 이 단원의 범위를 두 가지로 정해 둡니다. 삼각비의 값은 0°에서 90°까지의 각도에 대한 것만 다루고, 삼각비 사이의 관계는 다루지 않습니다(도형과 측정 고려 사항). 그래서 이 글의 모든 계산은 직각삼각형의 변의 비에서 바로 구하고, 삼각비끼리 바꾸는 식은 쓰지 않습니다.

특수각 30°·45°·60° 의 삼각비

특수각의 삼각비는 두 도형에서 나옵니다. 한 변이 2인 정삼각형을 높이로 반으로 자르면 빗변 2, 밑변 1, 높이 √3 인 30°·60°·90° 직각삼각형이 생깁니다. 한 변이 1인 정사각형을 대각선으로 자르면 두 변 1, 빗변 √2 인 45°·45°·90° 직각삼각형이 생깁니다. 변의 비는 각각 1 : √3 : 2 와 1 : 1 : √2 입니다.

표를 외울 때는 규칙을 이용합니다. sin 30°, sin 45°, sin 60° 는 √1/2, √2/2, √3/2 로 분자가 1, 2, 3 순서로 커지고, cos 은 그 반대 순서입니다. tan 은 삼각형에서 직접 읽습니다. 30°·60°·90° 삼각형에서 30° 를 기준으로 하면 높이가 1, 밑변이 √3 이므로 tan 30° = 1/√3 = √3/3 입니다.

반지름이 1인 사분원으로 보는 삼각비

빗변을 1로 잡으면 삼각비가 곧 선분의 길이가 됩니다. 좌표평면에서 원점 O를 중심으로 반지름이 1인 사분원을 그리고, 사분원 위의 점 A에서 x축에 수선 AB를 내립니다. ∠AOB = x 일 때 OA = 1 이므로

sin x = AB/OA = AB, cos x = OB/OA = OB 입니다. 또 점 D(1, 0) 에서 x축에 수직인 접선을 긋고 OA의 연장선과 만나는 점을 C라 하면 OD = 1 이므로 tan x = CD/OD = CD 입니다.

이 그림으로 각이 커질 때 값의 변화도 설명할 수 있습니다. x 가 0° 에서 90° 로 커지면 점 A가 사분원을 따라 올라가므로 AB(sin)는 0에서 1까지 커지고, OB(cos)는 1에서 0까지 작아지며, CD(tan)는 한없이 커집니다. 그래서 sin 0° = 0, cos 0° = 1, tan 0° = 0, sin 90° = 1, cos 90° = 0 이고, tan 90° 의 값은 정할 수 없습니다.

특수각이 아닌 각의 삼각비는 삼각비표에서 읽습니다. 예를 들어 표에서 sin 50° ≈ 0.7660, cos 50° ≈ 0.6428, tan 50° ≈ 1.1918 을 찾을 수 있습니다. 표의 값은 넷째 자리까지 반올림한 근삿값이므로 계산 결과에는 "약" 또는 ≈ 를 붙입니다.

높이와 거리 구하기

눈높이에서 수평선과 물체를 올려다보는 시선이 이루는 각을 올려본각, 내려다보는 시선이 이루는 각을 내려본각이라고 합니다. 올려본각과 수평 거리를 알면 tan 로 높이를 구합니다. 이때 계산으로 구한 높이는 눈높이 위쪽의 높이이므로, 실제 높이는 눈높이를 더해야 합니다.

직각삼각형이 아닌 삼각형에서는 꼭짓점에서 수선을 내려 직각삼각형 두 개로 나눕니다. ∠B = 45°, ∠C = 60°, BC = 10 인 삼각형 ABC에서 A에서 BC에 내린 수선의 발을 H, AH = h 라 하면 BH = h (45°), CH = h/√3 (tan 60° = h/CH) 입니다. BH + CH = 10 에서 h(1 + 1/√3) = 10, 분모를 유리화하면 h = 5(3 − √3) ≈ 6.34 입니다.

높이를 삼각비로 구해 넓이 구하기

원문은 삼각비 활용의 예로 "직접 측정하기 어려운 거리나 높이 등을 구해 보는 활동"을 듭니다([9수03-17] 해설). 넓이는 따로 이름이 나오지 않으므로, 여기서는 높이를 삼각비로 구한 뒤 (밑변) × (높이) ÷ 2 로 넓이를 계산하는 활용으로 봅니다. 따로 외울 넓이 공식이 있는 것이 아니라 높이 구하기를 한 번 더 쓰는 것입니다.

삼각형 ABC에서 AB = 8, AC = 6, ∠A = 60° 라 합시다. C에서 AB에 수선 CH를 내리면 직각삼각형 ACH에서 CH = AC × sin 60° = 6 × √3/2 = 3√3 입니다. 따라서 넓이는 ½ × AB × CH = ½ × 8 × 3√3 = 12√3 ≈ 20.78 입니다.

끼인각이 둔각일 때도 90° 보다 큰 각의 삼각비는 쓰지 않습니다. 대신 변의 연장선에 수선을 내리면 생기는 직각삼각형의 예각을 씁니다. 두 각을 합하면 평각이므로 그 예각은 180° − (둔각) 입니다.

평행사변형도 같은 방법입니다. 이웃한 두 변이 6, 10 이고 끼인각이 60° 이면, 길이 10 인 변을 밑변으로 볼 때 높이는 6 × sin 60° = 3√3 입니다. 넓이는 10 × 3√3 = 30√3 입니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 직각 표시를 반드시 넣습니다. 삼각비는 직각삼각형에서만 정의됩니다. 직각 기호가 빠지면 조건이 부족한 문제가 됩니다.
• 기준각을 호로 표시합니다. 각의 크기를 숫자로 주지 않는 문제(sin A 를 변의 길이로 나타내기 등)에서도 기준각 A에 호를 그려야 어느 각인지 분명합니다.
• 눈높이와 수평 거리는 분리해서 표시합니다. 활용 문제에서 눈높이를 빼먹는 학생이 많으므로, 눈높이를 치수선으로 따로 보여 줄지(쉬운 문항) 문장으로만 줄지(어려운 문항) 난이도에 맞게 정합니다.
• 중간 계산값을 그림에 남기지 않습니다. 수평 거리나 수선의 길이처럼 풀이 도중에 구하는 값이 그림에 적혀 있으면 첫 단계가 사라집니다. 구하는 값은 h, x 같은 문자로 둡니다.
• 근삿값을 쓰는 문항은 반올림 자리를 문장에 적습니다. "소수 첫째 자리까지", "√3 = 1.73 으로 계산" 같은 조건이 없으면 답이 여러 가지로 나옵니다.

쌤로그 중등 도판에서 수평 거리, 올려본각, 눈높이를 바꾸면 위 활용 그림을 원하는 수치로 다시 만들 수 있습니다.

자주 묻는 질문

sin A 에서 A 는 곱해지는 수인가요?

아닙니다. sin A 는 "각 A 의 사인"이라는 하나의 값이고 sin × A 가 아닙니다. 그래서 각이 2배가 되어도 삼각비가 2배가 되지 않습니다. 예를 들어 sin 60° = √3/2 ≈ 0.87 이지만 2 × sin 30° = 1 로 다릅니다.

tan 90° 는 왜 정할 수 없나요?

사분원 그림에서 x 가 90° 에 가까워지면 OA의 연장선이 점 D에서의 접선과 만나는 점 C가 한없이 위로 올라갑니다. x = 90° 가 되면 OA와 접선이 평행해져 만나지 않으므로 CD의 길이를 정할 수 없습니다.

삼각비 값이 1보다 클 수 있나요?

sin 과 cos 은 빗변보다 짧은 변을 빗변으로 나눈 값이므로 0° < x < 90° 에서 항상 0 보다 크고 1 보다 작습니다. tan 은 높이 ÷ 밑변이라 45° 보다 큰 각에서는 1 보다 커집니다(tan 60° = √3 ≈ 1.73).

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.