원주각과 중심각, 내접 사각형과 접선과 현이 이루는 각

중3 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

원주각 단원의 성질은 여러 개처럼 보이지만 뿌리는 하나입니다. "한 호에 대한 원주각은 그 호에 대한 중심각의 절반"이라는 성질만 제대로 이해하면, 같은 호의 원주각이 모두 같은 이유, 반원의 원주각이 90° 인 이유, 원에 내접하는 사각형의 대각의 합이 180° 인 이유가 차례로 따라 나옵니다.

이 글에서는 각 성질을 무엇이 같은가 → 왜 그런가 → 어떤 그림에서 쓰는가 순서로 정리하고, 원 그림을 시험지에 넣을 때 조심할 점까지 다룹니다.

원주각과 중심각의 관계

원 O에서 호 AB 위에 있지 않은 원 위의 점 P를 잡을 때 ∠APB 를 호 AB에 대한 원주각이라 하고, ∠AOB 를 호 AB에 대한 중심각이라 합니다. 두 각 사이에는 ∠APB = ½∠AOB 가 성립합니다.

이유는 이등변삼각형에서 나옵니다. 가장 간단한 경우로 원의 중심 O가 선분 PB 위에 있다고 합시다. OA = OP (반지름) 이므로 삼각형 OPA는 이등변삼각형이고 ∠OPA = ∠OAP 입니다. ∠AOB 는 삼각형 OPA의 한 외각이므로 ∠AOB = ∠OPA + ∠OAP = 2∠APB 입니다. 중심이 원주각의 안쪽이나 바깥쪽에 있을 때는 P에서 지름을 그어 이 경우 두 개의 합이나 차로 나타내면 같은 관계를 얻습니다.

같은 호의 원주각과 반원의 원주각

한 호에 대한 중심각은 하나뿐이므로, 그 호에 대한 원주각은 점 P를 어디에 잡든 모두 중심각의 절반으로 같습니다. 즉 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같습니다. 이 성질은 떨어져 있는 각을 한곳으로 옮겨 오는 데 쓰입니다.

특히 호가 반원일 때 중심각은 180° 이므로 원주각은 90° 입니다. 지름에 대한 원주각은 항상 직각입니다. 그래서 지름 AB와 원 위의 점 C로 만든 삼각형 ABC는 ∠C = 90° 인 직각삼각형이 되고, 나머지 두 각의 합은 90° 입니다.

한 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 원주각의 크기에 정비례합니다. 원주각이 25° 인 호의 길이가 4 이면 원주각이 50° 인 호의 길이는 8 입니다. 원 전체에 대한 원주각은 180° 이므로, 호의 길이가 원주의 1/5 이면 그 호에 대한 원주각은 180° × 1/5 = 36° 입니다. 단, 현의 길이는 원주각에 정비례하지 않는다는 점을 구별해야 합니다.

원에 내접하는 사각형

네 꼭짓점이 모두 한 원 위에 있는 사각형 ABCD에서 ∠A 는 호 BCD에 대한 원주각이고, ∠C 는 호 BAD에 대한 원주각입니다. 두 호를 합하면 원 전체이므로 두 호에 대한 중심각의 합은 360° 이고, 원주각의 합은 그 절반인 180° 입니다. 즉 원에 내접하는 사각형의 대각의 크기의 합은 180° 입니다.

여기서 바로 외각의 성질이 나옵니다. 변 BC의 연장선 위에 점 E를 잡으면 ∠DCE = 180° − ∠BCD 이고, ∠A = 180° − ∠BCD 이므로 ∠DCE = ∠A 입니다. 한 외각의 크기는 그와 이웃한 내각의 대각(내대각)의 크기와 같습니다.

이 성질은 거꾸로도 성립합니다. 한 쌍의 대각의 합이 180° 이거나, 한 외각이 내대각과 같은 사각형은 원에 내접합니다. 그래서 "네 점이 한 원 위에 있음을 보이시오" 문제에서는 대각의 합을 확인합니다. 직사각형, 정사각형, 등변사다리꼴은 대각의 합이 180° 이므로 항상 원에 내접하지만, 직사각형이 아닌 평행사변형은 대각의 크기가 같고 합이 180° 가 아니므로 원에 내접하지 않습니다.

접선과 현이 이루는 각

원 위의 점 A에서 그은 접선 AT와 현 AB가 이루는 각 ∠BAT 는, 그 각의 내부에 있는 호 AB에 대한 원주각 ∠ACB 와 같습니다. 원주각의 꼭짓점 C가 원을 따라 움직여 A에 한없이 가까워지면 선분 CA가 접선이 된다고 생각하면 자연스럽습니다.

증명은 지름을 이용합니다. 점 A를 지나는 지름 AD를 그으면 접선은 반지름에 수직이므로 ∠DAT = 90° 이고, AD가 지름이므로 ∠ABD = 90° 입니다. 그러면 ∠BAT = 90° − ∠DAB 이고, 직각삼각형 ABD에서 ∠ADB = 90° − ∠DAB 이므로 ∠BAT = ∠ADB 입니다. ∠ADB 와 ∠ACB 는 같은 호 AB에 대한 원주각이므로 ∠BAT = ∠ACB 가 됩니다.

성질을 섞어 쓰는 문제

실제 시험에서는 한 그림에 두세 성질이 함께 나옵니다. 각을 구할 때는 ① 모르는 각이 어느 호에 대한 원주각인지 ② 같은 호에 대한 다른 각(원주각, 중심각, 접선과 현이 이루는 각)이 그림에 있는지 ③ 삼각형 내각의 합이나 외각으로 연결할 수 있는지를 차례로 확인합니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 원의 중심 O는 필요할 때만 찍습니다. 중심이 찍혀 있으면 학생이 반지름을 그어 이등변삼각형을 찾는 풀이로 기울어집니다. 같은 호의 원주각만 쓰는 문제라면 중심을 생략합니다.
• 지름은 중심을 지나는 선으로 분명히 그립니다. 반원의 원주각 문제에서 선분이 중심을 지나는지 애매하면 90° 를 쓸 수 없습니다. 중심 O를 찍거나 "AB는 지름"을 문장에 적습니다.
• 풀이의 핵심을 알려 주는 표시는 끕니다. 지름 위의 원주각에 직각 기호가 있거나, 같은 호의 원주각에 같은 호 표시가 되어 있으면 성질을 떠올릴 필요가 없어집니다.
• 각 라벨이 어느 두 선분 사이인지 확인합니다. 원 안에서 선분이 여러 개 모이는 꼭짓점은 호가 좁아 라벨이 옆 각으로 읽히기 쉽습니다. 호의 반지름을 키우거나 라벨을 호 중앙에 둡니다.
• 점의 순서를 원을 따라 확인합니다. 사각형 ABCD의 꼭짓점이 원 위에서 A, B, C, D 순서가 아니면 내접 사각형이 꼬인 모양이 됩니다.

원주각 그림은 각을 바꿀 때 점의 위치가 함께 움직여야 해서 손으로 그리기 까다롭습니다. 쌤로그 중등 도판에서는 각의 크기를 입력하면 원 위의 점이 그 각에 맞게 놓입니다.

자주 묻는 질문

원주각이 90° 보다 크면 중심각이 180° 보다 커지나요?

네. 원주각이 120° 이면 그 원주각이 마주 보는 호에 대한 중심각은 240° 로, 그 호는 반원보다 큰 호입니다. 원주각의 꼭짓점이 작은 호 쪽에 있을 때 이런 둔각이 생깁니다.

같은 길이의 현에 대한 원주각도 같나요?

한 원에서 길이가 같은 현은 중심각이 같으므로, 같은 쪽 호에 대한 원주각도 같습니다. 다만 현 하나에는 작은 호와 큰 호가 있어서, 현의 양쪽에 있는 원주각은 서로 보각(합이 180°)이 됩니다. 이것이 내접 사각형의 대각의 합이 180° 인 이유와 같습니다.

접선과 현이 이루는 각에서 어느 원주각과 같은지 헷갈립니다.

각 ∠BAT 의 두 변(현 AB와 접선 AT) 사이에 끼인 호를 먼저 찾습니다. 그 호에 대한 원주각, 즉 그 호의 반대편 원 위의 점에서 A, B를 바라본 각과 같습니다. 접선의 반대 방향 T′ 쪽 각 ∠BAT′ 는 다른 쪽 호에 대한 원주각과 같습니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.