분산·표준편차와 상자그림, 산점도와 상관관계 정리

중3 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

두 반의 수학 평균이 똑같이 70점이어도, 한 반은 모두 65~75점에 모여 있고 다른 반은 40점부터 100점까지 넓게 퍼져 있을 수 있습니다. 대푯값 하나로는 이 차이가 보이지 않습니다. 산포도, 상자그림과 산점도 단원([9수04-07]~[9수04-09])은 자료가 얼마나 흩어져 있는가와 두 변량이 어떤 관계인가를 수와 그림으로 나타내는 방법을 다룹니다.

이 글에서는 대푯값과 산포도 → 분산과 표준편차 → 막대그래프로 비교 → 상자그림 → 산점도와 상관관계 순서로 정리하고, 통계 그래프를 시험지에 넣을 때 확인할 점을 덧붙입니다.

대푯값만으로는 부족한 이유

대푯값은 같은 영역의 앞 성취기준([9수04-01])에서 다룹니다. 평균, 중앙값, 최빈값 같은 대푯값은 자료 전체를 하나의 수로 요약합니다. 평균은 모든 값을 반영하지만 극단적인 값에 크게 흔들리고, 중앙값은 극단적인 값의 영향을 덜 받습니다. 예를 들어 자료 2, 3, 3, 4, 38 의 평균은 50 ÷ 5 = 10 이지만 중앙값은 3 입니다. 이런 자료에서는 중앙값이 자료의 중심을 더 잘 나타냅니다.

그런데 대푯값은 "중심이 어디인가"만 알려 줍니다. 자료 A: 4, 5, 6 과 자료 B: 1, 5, 9 는 평균과 중앙값이 모두 5 로 같지만 흩어진 정도가 크게 다릅니다. 자료가 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타낸 것을 산포도라고 하며, 중학교에서는 분산과 표준편차를 다룹니다([9수04-07]). 가장 큰 값에서 가장 작은 값을 뺀 범위(A는 2, B는 8)도 흩어진 정도를 보여 주지만 양 끝 두 값만 보므로 한계가 있습니다.

편차, 분산, 표준편차 계산하기

각 변량에서 평균을 뺀 값을 편차라고 합니다. 편차가 양수이면 평균보다 크고, 음수이면 평균보다 작습니다. 편차를 모두 더하면 항상 0 이 되므로 편차의 평균으로는 흩어진 정도를 잴 수 없습니다. 그래서 편차를 제곱해서 평균을 냅니다.

분산 = (편차)² 의 총합 ÷ (변량의 개수), 표준편차 = √(분산) 입니다. 분산은 제곱을 했기 때문에 단위가 원래 자료와 맞지 않아 보통 단위를 붙이지 않고, 표준편차는 원래 자료와 같은 단위(점, cm 등)를 붙입니다.

막대그래프로 흩어진 정도 비교하기

자료가 도수로 주어지면 편차의 제곱에 도수를 곱해서 더합니다. 아래 막대그래프는 1점부터 5점까지의 점수를 받은 학생 수가 2, 4, 8, 4, 2 명인 자료입니다.

도수의 총합은 20 명, 평균은 (1×2 + 2×4 + 3×8 + 4×4 + 5×2) ÷ 20 = 60 ÷ 20 = 3 (점) 입니다. 분산은 {(−2)²×2 + (−1)²×4 + 0²×8 + 1²×4 + 2²×2} ÷ 20 = 24 ÷ 20 = 1.2 이고, 표준편차는 √1.2 점(약 1.1점)입니다.

막대그래프에서는 계산하지 않고도 흩어진 정도를 비교할 수 있습니다. 평균이 같을 때 막대가 평균 근처에 높게 몰려 있을수록 분산이 작고, 양 끝에 많이 있을수록 분산이 큽니다. 아래 세 반은 평균이 모두 3점이지만 분산은 (가) 1.2, (나) 2.6, (다) 1 입니다.

(나)의 분산은 {4×6 + 1×2 + 0×4 + 1×2 + 4×6} ÷ 20 = 52 ÷ 20 = 2.6, (다)는 {4×2 + 1×2 + 0×12 + 1×2 + 4×2} ÷ 20 = 20 ÷ 20 = 1 입니다. 그래프의 모양만으로 (나) > (가) > (다) 순서를 먼저 예상하고 계산으로 확인하게 하면 분산의 의미가 분명해집니다.

사분위수와 상자그림

자료를 크기순으로 늘어놓고 네 부분으로 똑같이 나누는 세 값을 사분위수라 합니다. 가운데 값이 중앙값(제2사분위수)이고, 중앙값 아래쪽 절반의 중앙값을 제1사분위수 Q1, 위쪽 절반의 중앙값을 제3사분위수 Q3 이라 합니다. 최솟값, Q1, 중앙값, Q3, 최댓값 다섯 수를 그림으로 나타낸 것이 상자그림입니다. Q1 에서 Q3 까지를 상자로, 상자 양쪽에서 최솟값과 최댓값까지를 선(수염)으로 그립니다.

1반 12 명의 점수 40, 50, 58, 62, 70, 74, 76, 80, 84, 86, 95, 100 에서 중앙값은 6번째와 7번째 값의 평균 (74 + 76) ÷ 2 = 75 입니다. 아래 절반 40~74 의 중앙값은 (58 + 62) ÷ 2 = 60, 위 절반 76~100 의 중앙값은 (84 + 86) ÷ 2 = 85 이므로 Q1 = 60, Q3 = 85 입니다. 같은 방법으로 2반 45, 50, 54, 56, 62, 64, 66, 72, 74, 76, 88, 90 은 최솟값 45, Q1 55, 중앙값 65, Q3 75, 최댓값 90 입니다.

Q3 − Q1 을 사분위수 범위라 하며, 가운데 약 50% 의 자료가 흩어진 정도를 나타냅니다. 위 그림에서 1반은 중앙값이 더 높고(75 > 65) 사분위수 범위도 더 큽니다(25 > 20). 즉 1반은 전체적으로 점수가 높지만 가운데 학생들의 점수 차이도 더 큽니다. 상자그림의 각 부분(수염 하나, 상자 반쪽)에는 자료의 약 25% 씩이 들어 있다는 점도 해석에 씁니다. 원문은 상자그림을 다룰 때 두 집단의 분포를 비교하고 해석하는 활동에 중점을 두라고 적어 둡니다([9수04-08] 해설). 성취기준 자체도 공학 도구로 상자그림을 그리고 분포를 비교하는 것이므로([9수04-08]), 수업에서는 그리는 기능보다 이 예처럼 두 반을 비교해 말하는 연습에 시간을 씁니다.

산점도와 상관관계

두 변량 x, y 의 순서쌍 (x, y) 를 좌표평면 위의 점으로 나타낸 그래프를 산점도라 합니다. 점들이 오른쪽 위로 올라가는 경향이 있으면 양의 상관관계, 오른쪽 아래로 내려가는 경향이면 음의 상관관계, 뚜렷한 경향이 없으면 상관관계가 없다고 합니다. 중학교에서는 상관관계를 이 세 경우로 구분하여 다룹니다([9수04-09] 해설). 관계의 세기를 수로 나타내거나 더 잘게 나누는 것은 이 범위에 들어 있지 않습니다.

상관관계가 있다고 해서 한 변량이 다른 변량의 원인이라는 뜻은 아닙니다. 여름철 아이스크림 판매량과 물놀이 사고 건수는 양의 상관관계를 보일 수 있지만, 두 값 모두 기온이 올라서 늘어난 것입니다. 해석 문제에서 "원인"이라는 표현이 나오면 주의 깊게 따져 보게 합니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 평균이 딱 떨어지도록 도수를 고릅니다. 분산 비교 문제는 평균이 같아야 비교가 공정합니다. 좌우 대칭인 도수(2, 4, 8, 4, 2 처럼)를 쓰면 평균이 가운데 변량이 되어 계산이 깔끔합니다.
• 막대 위의 도수 표시는 목적에 맞게 켭니다. 계산 문제는 도수를 적어 읽기 실수를 막고, 모양만 보고 판단하는 문제는 도수를 지워 계산 없이 비교하게 합니다.
• 상자그림의 눈금 간격을 다섯 수치가 읽히게 정합니다. 사분위수가 눈금 사이에 오면 값을 읽을 수 없습니다. 다섯 수치를 5의 배수로 맞추거나, 값을 그림에 직접 적습니다.
• 산점도에는 축 이름과 단위를 씁니다. "수학(점)", "과학(점)"이 없으면 어느 축이 어떤 변량인지 알 수 없습니다. 축이 0부터 시작하지 않으면 물결선(생략 표시)을 넣습니다.
• 점이 겹치지 않게 합니다. 같은 순서쌍이 두 개 있으면 점 하나로 보여 학생 수를 잘못 셉니다. 겹치는 자료는 피하거나 문장에서 인원을 알려 줍니다.

쌤로그 중등 도판의 통계 그림은 도수나 점 자료를 입력하면 평균·분산이나 다섯 수치를 함께 계산해 보여 주므로 출제 전에 수치를 점검하는 데 쓸 수 있습니다.

자주 묻는 질문

분산과 표준편차 중 무엇을 써야 하나요?

흩어진 정도의 크기를 비교할 때는 어느 것을 써도 순서가 같습니다. 다만 표준편차는 원래 자료와 단위가 같아서 "평균 70점, 표준편차 5점"처럼 해석하기 쉽습니다. 분산은 계산의 중간 단계로 많이 씁니다.

모든 변량에 같은 수를 더하면 분산은 어떻게 되나요?

변하지 않습니다. 모든 학생의 점수에 5점씩 더하면 평균도 5점 올라가서 편차가 그대로이기 때문입니다. 반면 모든 변량을 2배 하면 편차도 2배가 되어 분산은 4배, 표준편차는 2배가 됩니다.

상자그림에서 평균도 알 수 있나요?

알 수 없습니다. 상자그림은 최솟값, 사분위수, 최댓값의 다섯 수만 나타내므로 평균이나 분산을 구할 수 없습니다. 평균을 비교해야 하는 문제라면 원래 자료나 도수분포가 필요합니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.