이차함수 그래프: 꼭짓점·축, 평행이동, a·b·c 부호 판단
이차함수 단원은 식과 그래프를 오가는 연습이 핵심입니다. 식을 보고 그래프의 모양과 위치를 떠올리고, 반대로 그래프를 보고 식의 계수를 읽어 내야 합니다. 학생들이 어려워하는 지점은 대부분 y = ax² 의 그래프를 옮긴 것이라는 관점을 놓칠 때 생깁니다.
이 글은 y = ax² 의 모양 → 평행이동과 꼭짓점 → 일반형을 꼭짓점 꼴로 바꾸기 → 그래프로 부호 판단 → 최댓값·최솟값 순서로 정리하고, 시험지에 포물선을 넣을 때 확인할 점을 덧붙입니다.
y = ax² 의 그래프: 볼록한 방향과 폭
y = ax² (a ≠ 0) 의 그래프는 원점을 꼭짓점으로 하고 y축에 대칭인 포물선입니다. a > 0 이면 아래로 볼록, a < 0 이면 위로 볼록합니다. 또 a의 절댓값이 클수록 x가 조금만 변해도 y가 크게 변하므로 그래프의 폭이 좁아집니다. y = 2x² 은 x = 1 일 때 y = 2, y = ½x² 은 x = 1 일 때 y = ½ 이어서 y = 2x² 이 y축 쪽으로 더 바짝 붙습니다.
이 그림 값 바꿔 만들기 →
y = ½x² 과 y = −½x² 처럼 a의 부호만 다른 두 그래프는 x축에 대하여 서로 대칭입니다. 폭은 부호와 관계없이 절댓값으로만 비교한다는 점을 꼭 짚어 줍니다. y = −3x² 이 y = 2x² 보다 폭이 좁습니다.
평행이동과 꼭짓점·축
y = ax² 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동하면 y = a(x − p)² + q 의 그래프가 됩니다. 모양(볼록한 방향과 폭)은 a가 정하고, 위치는 p와 q가 정합니다. 이 꼴을 흔히 꼭짓점 꼴(표준형)이라 부르며, 꼭짓점은 (p, q), 축의 방정식은 x = p 입니다.
| 식 | y = 2x² 을 옮긴 방법 | 꼭짓점 | 축 |
|---|---|---|---|
| y = 2x² + 3 | y축 방향으로 3 | (0, 3) | x = 0 |
| y = 2(x − 3)² | x축 방향으로 3 | (3, 0) | x = 3 |
| y = 2(x + 1)² − 4 | x축 방향으로 −1, y축 방향으로 −4 | (−1, −4) | x = −1 |
| y = 2(x − 2)² − 3 | x축 방향으로 2, y축 방향으로 −3 | (2, −3) | x = 2 |
평행이동을 해도 x²의 계수 a는 바뀌지 않습니다. 그래서 x²의 계수가 같은 두 이차함수의 그래프는 평행이동하면 완전히 포개어집니다. 이 성질은 "두 포물선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이"를 평행사변형으로 바꾸어 구하는 문제의 근거가 됩니다.
y = ax² + bx + c 를 꼭짓점 꼴로 바꾸기
일반형 y = ax² + bx + c 는 완전제곱식을 이용해 꼭짓점 꼴로 바꿉니다. 순서는 ① x²과 x항을 a로 묶기 ② 괄호 안에 (x의 계수의 절반)²을 더하고 빼기 ③ 완전제곱식으로 정리하고 뺀 수를 괄호 밖으로 꺼내기입니다. 꺼낼 때 앞의 a를 곱하는 것을 잊지 않도록 합니다.
예제 1 · 꼭짓점과 최솟값 구하기
이차함수 y = 2x² − 8x + 5 의 그래프의 꼭짓점의 좌표, 축의 방정식, y축과 만나는 점의 좌표와 최솟값을 구하시오.
이 그림 값 바꿔 만들기 →
y = 2(x² − 4x) + 5 = 2(x² − 4x + 4 − 4) + 5 = 2(x − 2)² − 8 + 5 = 2(x − 2)² − 3 입니다.
따라서 꼭짓점은 (2, −3), 축의 방정식은 x = 2 입니다. x = 0 을 넣으면 y = 5 이므로 y축과 (0, 5) 에서 만납니다.
a = 2 > 0 이므로 아래로 볼록하고, x = 2 일 때 최솟값 −3 을 가집니다. 최댓값은 없습니다.
검산: x = 2 를 처음 식에 넣으면 8 − 16 + 5 = −3 으로 꼭짓점의 y좌표와 같습니다.
같은 과정을 문자로 하면 y = a(x + b/2a)² − (b² − 4ac)/4a 가 되어, 축의 방정식이 x = −b/2a 임을 알 수 있습니다. 이 식은 다음 절의 부호 판단에 그대로 쓰입니다.
그래프로 a, b, c 의 부호 판단하기
그래프만 주고 계수의 부호를 묻는 문제는 세 가지를 차례로 읽으면 됩니다.
- a: 볼록한 방향. 아래로 볼록이면 a > 0, 위로 볼록이면 a < 0 입니다.
- b: 축의 위치. 축 x = −b/2a 가 y축의 오른쪽(양수)이면 a와 b는 부호가 다르고, 왼쪽(음수)이면 부호가 같습니다. 축이 y축이면 b = 0 입니다.
- c: y축과 만나는 점. x = 0 을 넣으면 y = c 이므로, 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표가 c 입니다.
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위 그림에서 a > 0 이고 축이 오른쪽이므로 −b/2a > 0 에서 b < 0 입니다. y축과 음의 부분에서 만나므로 c < 0 입니다. 여기서 한 걸음 더 나아가 "a + b + c 의 부호"를 묻기도 하는데, 이는 x = 1 일 때의 함숫값이므로 그래프에서 x = 1 인 점의 높이를 보면 됩니다. "a − b + c" 는 x = −1 일 때의 함숫값입니다.
최댓값·최솟값과 x절편으로 만든 도형
꼭짓점은 포물선에서 가장 낮은 점(a > 0) 또는 가장 높은 점(a < 0)입니다. 그래서 x의 범위가 실수 전체일 때 a > 0 이면 x = p 에서 최솟값 q 를 갖고 최댓값은 없으며, a < 0 이면 x = p 에서 최댓값 q 를 갖고 최솟값은 없습니다. 교육과정 원문은 이차함수의 최댓값과 최솟값을 "x의 범위가 실수 전체인 경우만 다룬다"고 적어 둡니다([9수02-22] 해설). x의 범위가 제한된 경우의 최대·최소는 고등학교 공통수학1에서 다룹니다([10공수1-02-06] 해설). 그래서 이 글에서는 "최댓값 또는 최솟값 = 꼭짓점의 y좌표"로 판단하되, 볼록한 방향을 먼저 확인하게 합니다.
그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 y = 0 을 넣은 이차방정식의 해입니다. 중학교에서 이차방정식은 해가 실수인 경우만 다루고, 근과 계수의 관계는 다루지 않습니다(변화와 관계 고려 사항). 아래 예제도 인수분해로 두 해를 직접 구합니다. 꼭짓점과 x축 위의 두 점을 이어 삼각형을 만들면 이차방정식과 이차함수를 함께 쓰는 넓이 문제가 됩니다.
예제 2 · 꼭짓점과 x절편으로 만든 삼각형
이차함수 y = −x² + 2x + 3 의 그래프가 x축과 만나는 두 점을 A, B, 꼭짓점을 C라 할 때, 삼각형 ABC의 넓이 S를 구하시오.
이 그림 값 바꿔 만들기 →
y = −(x² − 2x) + 3 = −(x − 1)² + 1 + 3 = −(x − 1)² + 4 이므로 꼭짓점은 C(1, 4) 이고, x = 1 일 때 최댓값 4 를 가집니다.
y = 0 에서 x² − 2x − 3 = 0, (x − 3)(x + 1) = 0 이므로 x = −1 또는 x = 3 입니다. 즉 A(−1, 0), B(3, 0) 이고 AB = 4 입니다.
밑변 AB = 4, 높이는 꼭짓점의 y좌표 4 이므로 S = ½ × 4 × 4 = 8 입니다.
검산: 두 x절편의 한가운데 (−1 + 3) ÷ 2 = 1 이 축의 x좌표와 같아 맞습니다.
시험지 그림을 만들 때 챙길 점
- 부호 판단 문제에는 눈금과 식을 넣지 않습니다. 그래프에 식이 적혀 있으면 부호가 바로 보입니다. 축, 원점 O, 대략의 모양만 남깁니다.
- 꼭짓점과 절편이 격자점에 오도록 계수를 고릅니다. y = 2x² − 8x + 5 처럼 꼭짓점이 정수 좌표이면 그래프를 읽기 쉽고 답도 깔끔합니다. 꼭짓점이 (1.25, −2.125) 같은 값이 되지 않는지 먼저 계산해 봅니다.
- 폭 비교 그림은 같은 축척으로 그립니다. 여러 포물선을 서로 다른 크기의 그림에 따로 그리면 폭 비교가 무의미해집니다. 한 좌표평면에 겹쳐 그리거나 같은 크기로 나란히 둡니다.
- 곡선이 좌표평면 밖으로 잘리는 위치를 확인합니다. 포물선의 양 끝이 너무 짧게 잘리면 볼록한 방향이 불분명해 보입니다. 꼭짓점 양쪽으로 충분히 그립니다.
- 최댓값·최솟값 표시는 답이 될 수 있습니다. 설명용 그림에서는 꼭짓점의 점선 눈금과 "최솟값" 표시를 켜고, 문제용에서는 끕니다.
쌤로그 중등 도판의 이차함수 그림은 a, p, q 를 입력하면 꼭짓점과 축, 최솟값 표시를 켜고 끌 수 있어 설명용과 문제용을 따로 만들기 편합니다.
자주 묻는 질문
- y = a(x − p)² + q 에서 꼭짓점이 (−p, q) 아닌가요?
- 아닙니다. 꼭짓점은 (p, q) 입니다. 괄호 안이 x − p 이므로 x = p 일 때 괄호가 0이 되어 y = q 가 됩니다. 식이 y = 3(x + 2)² 이면 x − (−2) 로 보아 꼭짓점은 (−2, 0) 입니다.
- 이차함수의 그래프가 항상 x축과 만나나요?
- 그렇지 않습니다. y = x² + 1 은 아래로 볼록하고 꼭짓점이 (0, 1) 이므로 x축보다 항상 위에 있어 x축과 만나지 않습니다. 꼭짓점의 위치와 볼록한 방향을 함께 보면 x축과 몇 번 만나는지 알 수 있습니다. 판별식으로 근을 판별하는 방법은 고등학교 공통수학1에서 다룹니다([10공수1-02-02]).
- b 의 부호는 왜 축의 위치로 판단하나요?
- 축의 방정식이 x = −b/2a 이기 때문입니다. a의 부호를 이미 알고 있으면 축의 x좌표의 부호에서 b의 부호가 정해집니다. 예를 들어 a < 0 이고 축이 y축의 왼쪽이면 −b/2a < 0 이므로 b/2a > 0, 즉 b 도 음수입니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.