중2 움직이는 점과 그래프

중2 · 일차함수의 활용 · 최종 수정 2026-09-30

도형의 변을 따라 움직이는 점 때문에 변하는 넓이를 x초 후의 식과 그래프로 나타냅니다. 점 하나, 두 점 동시, 좌표평면 위 선분을 따라 움직이는 경우를 구간별로 정리했습니다.

이 도판 값 바꿔 만들기

개념 정리

움직이는 점 문제는 "x초 동안 움직인 거리 = (매초 움직이는 거리) × x"로 길이를 x의 식으로 쓰고, 그 길이로 넓이 y를 나타내는 순서로 풉니다. 점이 꼭짓점을 지나 다른 변으로 옮겨 가면 넓이를 구하는 식이 바뀌므로 구간을 나누어야 합니다.

가로 BC = 6, 세로 AB = 4인 직사각형에서 점 P가 B → C → D → A로 매초 1씩 움직이면 △ABP의 넓이는 0 ≤ x ≤ 6에서 y = ½ × 4 × x = 2x, 6 ≤ x ≤ 10에서 y = ½ × 4 × 6 = 12, 10 ≤ x ≤ 16에서 AP = 16 − x이므로 y = −2x + 32입니다. 그래프는 올라가다 평평해지고 다시 내려가는 꺾은선입니다.

좌표평면에서 점 P가 직선 y = −(3/4)x + 6 위를 움직이면 P의 좌표는 (x, −(3/4)x + 6)입니다. 밑변을 x축 위에 두면 높이는 P의 y좌표가 됩니다.

시험·학습지에 자주 나오는 형태

• 점 하나: 넓이가 일정한 구간 찾기, 넓이가 8이 되는 시각 두 번(2x = 8에서 4초, −2x + 32 = 8에서 12초) 구하기
• 두 점 동시: 가로 12, 세로 6인 직사각형에서 P는 매초 3, Q는 매초 1씩 움직일 때 사다리꼴 ABPQ의 넓이 y = 6x + 36, 넓이가 54가 되는 시각 3초
• 좌표평면 위 선분: A(8, 0), B(0, 6)을 잇는 선분 위의 점 P에 대해 △OAP = −3x + 24, 넓이가 12일 때 P(4, 3)
• 그래프를 먼저 주고 직사각형의 가로·세로나 점의 속력을 거꾸로 구하기

이 도판은 3가지 보기로 그릴 수 있습니다: 점 P 하나와 넓이 그래프, 두 점 P, Q가 동시에 움직일 때, 좌표평면 위 선분을 따라 움직이는 점.

도판을 만들 때 챙길 점

• 점 하나 보기의 "꺾이는 점 점선"은 그래프에서 구간의 경계를 읽게 하는 문제에 켭니다. 눈금값을 끄면 "a, b의 값을 구하시오" 꼴로 만들 수 있습니다.
• 점 P를 표시할 시각이 꼭짓점에 닿는 시각(예: 6초)과 같으면 점이 꼭짓점과 겹쳐 보입니다. 변의 가운데쯤에 오는 시각을 고릅니다.
• 두 점 보기는 색칠한 도형을 왼쪽 사다리꼴·오른쪽 사다리꼴·삼각형 중에서 고를 수 있어 같은 상황으로 문제를 여러 개 만들 수 있습니다.
• 좌표평면 보기의 "그래프 양 끝 빈 점"은 0 < x < 8처럼 삼각형이 생기지 않는 끝점을 뺀다는 뜻입니다. 범위를 묻는 문제에서 켜 둡니다.

학생들이 자주 틀리는 부분

• 점이 변을 바꾸었는데도 처음 구간의 식을 그대로 씁니다.
• 사다리꼴의 윗변을 AQ가 아닌 QD로 잡습니다.
• 좌표평면 위 삼각형의 높이를 P의 y좌표가 아닌 x좌표로 씁니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.