중3 이차함수의 그래프

중3 · 이차함수와 그래프 · 최종 수정 2026-09-30

이차함수 y = a(x − p)² + q의 그래프와 꼭짓점·축, 절편으로 만든 삼각형, 포물선 안의 직사각형, 평행이동한 두 포물선 사이의 넓이를 그립니다. 식 변형과 넓이 계산을 정리했습니다.

이 도판 값 바꿔 만들기

개념 정리

y = a(x − p)² + q의 그래프는 y = ax²의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 포물선입니다. 꼭짓점은 (p, q), 축은 직선 x = p입니다. a > 0이면 아래로 볼록하여 꼭짓점이 가장 낮은 점, a < 0이면 위로 볼록하여 가장 높은 점입니다. 그래서 x의 범위가 실수 전체일 때 q가 최솟값(a > 0) 또는 최댓값(a < 0)이 되고, 중학교는 이 경우만 다룹니다([9수02-22] 해설).

y = ax² + bx + c 꼴은 완전제곱식으로 고쳐 꼭짓점을 찾습니다. y = −x² + 2x + 3 = −(x − 1)² + 4이므로 꼭짓점은 (1, 4), y축과 만나는 점은 (0, 3)입니다. x축과 만나는 점은 y = 0으로 놓은 이차방정식 x² − 2x − 3 = 0의 해 x = −1, 3입니다.

x²의 계수가 같은 두 포물선은 평행이동하면 포개어집니다. 그래서 두 포물선과 직선으로 둘러싸인 부분은 넓이가 같은 평행사변형으로 바꾸어 구할 수 있습니다.

시험·학습지에 자주 나오는 형태

• 꼭짓점·축: 식에서 꼭짓점과 축의 방정식 읽기, 그래프가 지나지 않는 사분면 찾기
• 절편으로 만든 도형: x축과 만나는 두 점 A, B와 꼭짓점 C로 만든 △ABC의 넓이(기본값 y = −(x − 1)² + 4에서 ½ × 4 × 4 = 8)
• 포물선 안의 직사각형: y = −x² + 4 위의 두 점과 x축으로 만든 직사각형에서 가로가 2이면 세로 3, 넓이 6
• 두 포물선 사이: y = (x − 1)² − 4와 y = (x − 3)² − 4 사이의 색칠한 부분을 가로 2, 높이 4인 평행사변형(넓이 8)으로 바꾸기
• 넓이를 이등분하는 직선: 원점이나 꼭짓점을 지나면서 △ABC의 넓이를 반으로 나누는 직선의 기울기 구하기

이 도판은 4가지 보기로 그릴 수 있습니다: 꼭짓점·최대최소, 포물선 안의 직사각형, 절편·꼭짓점으로 만든 도형, 두 포물선 사이의 도형.

도판을 만들 때 챙길 점

• 꼭짓점 보기의 "축(점선)"과 "꼭짓점의 좌표 눈금"은 개념 설명용입니다. 꼭짓점을 묻는 문제에서는 끄고 p, q를 문자로 숨깁니다. "최댓값·최솟값 표시"는 꼭짓점의 y좌표가 최댓값 또는 최솟값임을 보일 때 켭니다. 중학교에서는 x의 범위가 실수 전체인 경우만 다루고([9수02-22] 해설), x의 범위를 제한한 최대·최소는 고등학교 공통수학1([10공수1-02-06] 해설)의 내용입니다.
• 절편 보기에서 식의 꼴을 일반형으로 두면 표준형으로 고치는 문제, 표준형으로 두면 x절편을 구하는 문제가 됩니다. 도형은 △ABC, △ABD, 사각형, 사다리꼴 중에서 고릅니다.
• |a|가 크면 폭이 좁아 꼭짓점 근처 좌표를 읽기 어렵습니다. x절편이 정수가 되려면 (x − p)² = −q/a의 우변이 제곱수여야 합니다(예: a = −1, q = 4이면 (x − p)² = 4).
• 두 포물선 보기의 "넓이가 같은 평행사변형(점선)"은 정답지나 풀이에만 켭니다.

학생들이 자주 틀리는 부분

• y = (x + 2)² − 1의 꼭짓점을 (2, −1)로 부호를 바꾸지 않고 읽습니다.
• 완전제곱식으로 고칠 때 괄호 밖으로 뺀 a를 상수항에 곱하지 않아 2(x − 2)² − 4 + 5처럼 씁니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.