중3 이차함수 그래프의 모양
이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프 모양으로 a, b, c의 부호를 판단하고, y = ax² 꼴 포물선의 폭을 비교하며, 식에 맞는 그래프를 고릅니다. 부호 판단 순서를 정리했습니다.
개념 정리
y = ax² + bx + c의 그래프에서 a의 부호는 볼록한 방향을 정합니다. 아래로 볼록하면 a > 0, 위로 볼록하면 a < 0입니다. c는 x = 0일 때의 y의 값이므로 y축과 만나는 점의 y좌표입니다.
완전제곱식으로 고치면 축의 방정식은 x = −b/(2a)입니다. 그래서 축이 y축의 오른쪽에 있으면 −b/(2a) > 0이므로 a와 b의 부호가 다르고(ab < 0), 왼쪽에 있으면 같으며(ab > 0), y축이면 b = 0입니다.
y = ax²에서 |a|가 클수록 그래프의 폭이 좁습니다. y = ½x²과 y = −½x²처럼 a의 부호만 다른 두 그래프는 x축에 대하여 대칭입니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- a, b, c의 부호: 그래프의 볼록한 방향, 축의 위치, y절편으로 부호 정하기, x = 1을 넣은 a + b + c의 부호 묻기
- 부호를 바꾼 식의 그래프: 주어진 그래프에서 부호를 구한 뒤 y = cx² + bx + a의 꼭짓점이 있는 사분면 구하기
- 여러 포물선 비교: y = 2x², y = ½x², y = −½x²을 폭이 좁은 순으로 늘어놓기, x축 대칭인 쌍 찾기
- 보기 그래프 고르기: y = (x − 1)² − 2에서 아래로 볼록, 꼭짓점 (1, −2), y축과 (0, −1)에서 만나는 그래프 고르기
이 도판은 3가지 보기로 그릴 수 있습니다: a, b, c의 부호, 여러 포물선 비교, 보기 그래프 고르기.
예제 · 부호를 바꾼 이차함수
y = ax² + bx + c의 그래프가 위로 볼록하고, 축이 y축의 왼쪽에 있으며, y축과 원점보다 위에서 만난다. 이때 y = cx² + bx + a의 그래프의 꼭짓점은 제몇 사분면 위에 있는지 구하시오.
위로 볼록하므로 a < 0, 축이 왼쪽이므로 a와 b는 같은 부호로 b < 0, y절편이 양수이므로 c > 0입니다.
y = cx² + bx + a는 c > 0이므로 아래로 볼록하고, 축 x = −b/(2c) > 0이므로 y축의 오른쪽에 있으며, y절편 a < 0입니다. 아래로 볼록한 그래프의 꼭짓점은 y절편보다 아래에 있으므로 꼭짓점의 y좌표도 음수입니다. 따라서 꼭짓점은 제4사분면 위에 있습니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 부호 보기는 볼록한 방향, 축의 위치(왼쪽·y축·오른쪽), y축과 만나는 점(위·원점·아래), x축과 두 점에서 만나는지를 조합해 개형을 정합니다. 좌표 눈금 없이 그려져 부호만 판단하게 됩니다.
- 포물선 비교 보기는 그래프 이름을 식으로 쓸지 p, q, r로 쓸지 고릅니다. 폭 비교 문제에서는 이름만 남기고 식은 보기로 줍니다.
- 고르기 보기는 정답 번호와 보기 배치(격자·한 줄)를 정할 수 있습니다. 꼭짓점과 y절편이 모두 정수가 되도록 p, q를 고르면 보기끼리 차이가 분명해집니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 축이 y축의 오른쪽에 있으면 b > 0이라고 단정합니다(a의 부호와 함께 봐야 합니다).
- |a|가 클수록 폭이 넓다고 거꾸로 기억합니다.
- c를 x축과 만나는 점의 x좌표로 착각합니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.