곱셈 공식과 인수분해, 넓이 모형으로 이해하기

중3 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

곱셈 공식과 인수분해([9수02-19])는 다항식 계산의 뼈대입니다. 그런데 공식만 외운 학생은 (a + b)² 을 a² + b² 으로 쓰거나, x² + 7x + 12 앞에서 어떤 두 수를 찾아야 하는지 헷갈립니다. 식을 넓이로 바꾸어 보면 왜 가운데 항 2ab가 생기는지, 인수분해가 왜 "직사각형의 가로와 세로를 찾는 일"인지가 한눈에 보입니다.

이 글에서는 곱셈 공식 네 가지를 넓이 그림으로 확인하고, 대수 타일로 인수분해를 해 본 뒤, 계산 활용과 시험지 그림 제작 요령까지 정리합니다.

곱셈 공식 한눈에 보기

다항식의 곱셈은 분배법칙을 반복해서 쓰는 것입니다. 그중 자주 나오는 꼴을 공식으로 정리해 두면 계산이 빨라지고, 반대로 읽으면 인수분해 공식이 됩니다. 곱셈 공식과 인수분해는 같은 등식을 왼쪽에서 오른쪽으로 읽느냐, 오른쪽에서 왼쪽으로 읽느냐의 차이입니다.

이 표의 여섯 가지 꼴은 교육과정 원문이 "다항식의 곱셈과 인수분해는 다음의 경우를 다룬다"며 적어 둔 목록과 같습니다([9수02-19] 해설). 원문은 곱셈과 인수분해의 역관계를 이해하게 하라고도 적습니다. 세제곱이 들어간 꼴처럼 이 목록에 없는 공식은 이 글에서 다루지 않습니다.

(a + b)² 과 (a − b)²: 정사각형 나누기

한 변의 길이가 a + b 인 정사각형을 가로, 세로 모두 a와 b로 나누면 네 조각이 생깁니다. 한 변이 a인 정사각형(a²), 한 변이 b인 정사각형(b²), 가로 a·세로 b인 직사각형 두 개(ab, ab)입니다. 전체 넓이 (a + b)² 은 네 조각의 합과 같으므로 a² + 2ab + b² 입니다. 가운데 항 2ab는 직사각형 두 조각이라는 점이 그림으로 분명해집니다.

(a − b)² 은 반대로 생각합니다. 한 변이 a인 정사각형에서 가로 a, 세로 b인 직사각형을 위쪽과 오른쪽에서 하나씩 떼어 냅니다. 그러면 오른쪽 위 모서리의 b² 부분이 두 번 빠지므로 한 번 되돌려 더해야 합니다. 그래서 (a − b)² = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b² 이 됩니다. 마지막 항이 −b² 이 아니라 +b² 인 이유가 바로 이 겹친 조각입니다.

(a + b)(a − b): 잘라 붙여 직사각형 만들기

한 변이 a인 정사각형에서 한 변이 b인 정사각형을 모서리에서 잘라 내면 넓이는 a² − b² 입니다. 남은 ㄱ자 모양을 가로로 잘라 한 조각을 옆으로 옮겨 붙이면 가로 a + b, 세로 a − b 인 직사각형이 됩니다. 넓이는 변하지 않았으므로 (a + b)(a − b) = a² − b² 입니다.

이 공식은 계산에서 특히 쓸모가 많습니다. 두 수가 어떤 수를 중심으로 같은 거리만큼 떨어져 있을 때 곱을 제곱의 차로 바꿀 수 있습니다. 예를 들어 49 × 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499 입니다. 제곱근 단원의 분모의 유리화도 같은 원리입니다. (√5 + 2)(√5 − 2) = 5 − 4 = 1 처럼 근호가 사라집니다.

(x + a)(x + b): 가로와 세로가 다른 직사각형

가로가 x + 3, 세로가 x + 2 인 직사각형을 네 조각으로 나누면 x², 3x, 2x, 6 이 됩니다. 두 직사각형 조각 3x와 2x는 동류항이므로 합쳐서 5x 가 되고, (x + 3)(x + 2) = x² + 5x + 6 입니다. 여기서 일차항의 계수 5는 3 + 2(합), 상수항 6은 3 × 2(곱)라는 규칙이 보입니다.

인수분해는 이 과정을 거꾸로 합니다. x² + 5x + 6 이 주어지면 "곱이 6, 합이 5인 두 수"를 찾으면 됩니다. 곱이 6인 정수 쌍은 (1, 6), (2, 3), (−1, −6), (−2, −3) 이고, 그중 합이 5인 것은 (2, 3) 이므로 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) 입니다. 상수항이 음수이면 두 수의 부호가 다르고, 상수항이 양수인데 일차항 계수가 음수이면 두 수가 모두 음수입니다.

대수 타일로 인수분해하기

대수 타일은 한 변이 x인 정사각형(x²), 가로 x·세로 1인 막대(x), 한 변이 1인 작은 정사각형(1)으로 이루어집니다. x² + 7x + 12 를 인수분해하려면 x² 타일 1개, x 막대 7개, 1 조각 12개를 빈틈없이 하나의 직사각형으로 배열합니다. 그렇게 만든 직사각형의 가로와 세로가 두 인수입니다.

곱이 12인 다른 쌍 (2, 6), (1, 12)로 배열하면 x 막대가 8개, 13개 필요해 개수가 맞지 않습니다. 타일로 여러 배열을 직접 시도해 보면 "합이 맞아야 한다"는 조건이 왜 필요한지 몸으로 이해합니다. 인수분해는 공통인수를 먼저 묶는 것에서 시작한다는 점도 함께 지도합니다. 2x² + 14x + 24 는 먼저 2(x² + 7x + 12) 로 묶은 뒤 2(x + 4)(x + 3) 으로 끝까지 인수분해해야 합니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 조각 안의 넓이를 쓸지 정합니다. a², ab 같은 넓이를 모두 적으면 전개 결과가 그대로 보입니다. "넓이를 두 가지 방법으로 나타내시오" 문제에서는 변의 길이만 남기고 조각의 넓이는 지웁니다.
• 문자 길이의 비율을 실제처럼 보이게 합니다. a와 b를 비슷한 길이로 그리면 학생이 a = b 로 오해하거나 조각을 구별하지 못합니다. 긴 변과 짧은 변이 확실히 구별되도록 모양 값을 2 : 1 이상으로 둡니다.
• 잘라 붙이기 그림은 두 단계로 나눕니다. 처음 모양과 옮긴 뒤 모양을 한 그림에 모두 보여 주면 설명용, 처음 모양만 보여 주면 "어떤 직사각형이 되는가"를 묻는 문제용이 됩니다.
• 타일 문제는 개수 조건을 문장에 씁니다. 그림만으로 타일 개수를 세게 하면 인쇄 상태에 따라 잘못 셀 수 있습니다. "x 타일 7개, 1 타일 12개"처럼 문장에 적습니다.
• 계수 표기를 통일합니다. 조각 안에 3x와 x3, 1x처럼 표기가 섞이면 안 됩니다. 계수는 문자 앞에 쓰고 1은 생략하며, 교과서 표기와 같게 맞춥니다.

자주 묻는 질문

(a − b)² 도 넓이로 설명할 수 있나요? 길이가 음수가 되지 않나요?

넓이 모형은 a > b > 0 일 때를 그림으로 보여 주는 것입니다. 그림은 공식이 성립하는 이유를 이해하는 도구이고, 공식 자체는 분배법칙으로 전개해 모든 수에 대해 성립함을 확인합니다. 수업에서는 그림으로 발견하고 전개로 확인하는 순서가 자연스럽습니다.

x² − 9 는 (x − 3)² 인가요?

아닙니다. (x − 3)² = x² − 6x + 9 이므로 일차항이 생깁니다. x² − 9 는 제곱의 차이므로 (x + 3)(x − 3) 입니다. 전개해서 다시 원래 식이 나오는지 확인하면 이런 실수를 줄일 수 있습니다.

x² 의 계수가 1이 아닌 식은 타일로 어떻게 하나요?

2x² + 5x + 3 이라면 x² 타일 2개, x 타일 5개, 1 타일 3개로 직사각형을 만듭니다. x² 타일 두 개를 세로로 붙이고 옆과 아래에 막대를 놓으면 가로 x + 1, 세로 2x + 3 인 직사각형이 되어 (2x + 3)(x + 1) 을 얻습니다. 전개하면 2x² + 2x + 3x + 3 = 2x² + 5x + 3 으로 맞습니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.