제곱근과 무리수: 모눈으로 수직선에 나타내고 크기 비교하기

중3 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

제곱근과 실수 단원([9수01-07]~[9수01-10])은 제곱해서 2가 되는 수처럼 분수로 나타낼 수 없는 수를 다룹니다. 원문은 제곱근의 값을 계산기 등으로 구할 수 있음을 알게 하라고 적어 둡니다(수와 연산 고려 사항). 그런데 학생들은 √2를 계산기로 1.414…라고 읽을 수는 있어도, 그 수가 수직선의 정확히 어느 점인지 물으면 막히는 경우가 많습니다. 무리수는 소수로 끝까지 적을 수 없지만, 길이로는 정확하게 만들 수 있습니다.

이 글에서는 제곱근의 뜻 → 무리수와 실수 → 모눈과 컴퍼스로 수직선에 옮기기 → 대소 비교 순서로 정리하고, 시험지에 수직선 그림을 넣을 때 확인할 점까지 다룹니다.

제곱근의 뜻과 기본 성질

어떤 수 x를 제곱하여 a가 될 때, 즉 x² = a 일 때 x를 a의 제곱근이라고 합니다. 3² = 9 이고 (−3)² = 9 이므로 9의 제곱근은 3과 −3 두 개입니다. 양수의 제곱근은 절댓값이 같고 부호가 다른 두 수이며, 양수인 것을 √a, 음수인 것을 −√a 로 씁니다. 0의 제곱근은 0 하나뿐이고, 음수는 제곱해서 음수가 되는 수가 없으므로 제곱근이 없습니다.

용어 두 개를 구별해야 합니다. "a의 제곱근"은 두 개(±√a)이고, "제곱근 a"는 √a 하나입니다. "16의 제곱근"은 ±4, "제곱근 16"은 4입니다. 서술형에서 이 차이로 감점되는 경우가 많습니다.

무리수와 실수: 소수로는 끝나지 않는 수

분수 m/n (m, n은 정수, n ≠ 0) 꼴로 나타낼 수 있는 수가 유리수이고, 유리수는 소수로 나타내면 유한소수이거나 순환소수입니다. 반면 √2 = 1.41421356… 처럼 순환하지 않는 무한소수로 나타나는 수가 무리수입니다. 원주율 π = 3.14159… 도 무리수입니다. 유리수와 무리수를 통틀어 실수라고 합니다.

근호가 있다고 모두 무리수는 아닙니다. √4 = 2, √0.09 = 0.3, √(16/25) = 4/5 는 근호를 없앨 수 있으므로 유리수입니다. 근호 안의 수가 어떤 유리수의 제곱이 아닐 때만 무리수입니다. 판단할 때는 근호 안을 먼저 정리해 보는 습관이 필요합니다.

실수는 수직선 위의 점과 하나씩 대응합니다. 모든 실수는 수직선 위의 한 점으로 나타낼 수 있고, 거꾸로 수직선 위의 모든 점은 하나의 실수를 나타냅니다. 유리수만으로는 수직선을 빈틈없이 채울 수 없고, 무리수까지 합해야 수직선이 완전히 메워집니다. 또 서로 다른 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있습니다.

정사각형의 대각선으로 √2 옮기기

원문은 "제곱근과 무리수는 피타고라스 정리를 이용하여 도입할 수 있다", "한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이 등을 이용하여 무리수의 존재를 직관적으로 이해하게 한다"고 적어 둡니다(수와 연산 고려 사항). 이 절과 다음 절이 바로 그 방법입니다.

한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선은 피타고라스 정리로 √(1² + 1²) = √2 입니다. 이 길이를 컴퍼스로 옮기면 √2를 수직선 위에 정확히 찍을 수 있습니다. 한 꼭짓점 B를 수직선 위의 0에 두고, B를 중심으로 대각선 BD를 반지름으로 하는 원을 그리면 원이 수직선과 만나는 두 점이 √2 와 −√2 입니다.

넓이로 설명하는 방법도 있습니다. 모눈 2칸 × 2칸 정사각형에서 네 모서리의 직각삼각형(넓이 각 ½)을 잘라 내면, 가운데에 기울어진 정사각형이 남고 그 넓이는 4 − 4 × ½ = 2 입니다. 넓이가 2인 정사각형의 한 변의 길이가 √2 이므로, 기울어진 정사각형의 한 변이 바로 √2 입니다. 피타고라스 정리를 떠올리기 어려워하는 학생에게 이 설명이 잘 통합니다.

기준점이 0이 아닐 때는 기준점의 좌표 ± 반지름으로 씁니다. 꼭짓점 B의 좌표가 −1이면 오른쪽 점은 −1 + √2, 왼쪽 점은 −1 − √2 입니다. 학생들이 자주 틀리는 곳이 이 부분으로, 기준점을 빼먹고 √2 라고만 쓰는 실수가 흔합니다.

모눈 위 직각삼각형으로 여러 무리수 만들기

가로 a칸, 세로 b칸인 직각삼각형의 빗변은 √(a² + b²) 입니다. 모눈의 칸 수를 바꾸면 여러 무리수를 만들 수 있습니다. 아래 표는 자주 쓰는 조합입니다.

표에 √3이 없는 것은 우연이 아닙니다. 두 자연수의 제곱의 합으로 3을 만들 수 없기 때문입니다(1 + 1 = 2, 1 + 4 = 5). √3이 필요하면 두 단계를 거칩니다. 먼저 √2를 만든 뒤, 밑변 √2와 높이 1인 직각삼각형을 세우면 빗변이 √(2 + 1) = √3 이 됩니다. √6 도 같은 방식으로 √5와 1, 또는 2와 √2로 만듭니다.

실수의 대소 비교 세 가지 방법

수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 큽니다. 계산으로 비교할 때는 상황에 따라 세 가지 방법을 씁니다.

1. 근호 안 비교: a, b가 양수일 때 a < b 이면 √a < √b 입니다. 3과 √10을 비교하려면 3 = √9 로 바꾸어 √9 < √10 이므로 3 < √10 입니다.
2. 빼서 부호 보기: 두 수 A, B에 대해 A − B > 0 이면 A > B 입니다. 1 + √5 와 3 을 비교하면 (1 + √5) − 3 = √5 − 2 = √5 − √4 > 0 이므로 1 + √5 > 3 입니다.
3. 정수 부분 어림: 4 < 7 < 9 이므로 2 < √7 < 3 입니다. 어떤 정수 사이에 있는지만 알아도 수직선 위 위치를 정할 수 있습니다.

정수 부분 어림은 "소수 부분"을 묻는 문제로도 이어집니다. 2 < √7 < 3 이므로 √7의 정수 부분은 2이고 소수 부분은 √7 − 2 입니다. 소수 부분을 0.64처럼 쓰면 틀리며, 반드시 무리수 그대로 나타내야 합니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 모눈 한 칸의 길이를 문제에 씁니다. "모눈 한 칸은 한 변의 길이가 1인 정사각형"이라는 조건이 없으면 빗변의 길이를 정할 수 없습니다.
• 기준점을 정수 눈금 위에 둡니다. 컴퍼스의 중심이 눈금 사이에 있으면 좌표를 읽을 수 없습니다. 기준점은 0이 아닌 수(예: 1, −1)로 바꾸어 "기준점 ± 반지름" 연습이 되게 하는 것이 좋습니다.
• 구하는 점의 좌표는 문자로 둡니다. 그림에 1 − √5 같은 값이 적혀 있으면 답이 드러납니다. 점 이름(P, Q)만 남기고 좌표 표시는 끕니다.
• 호는 점선으로, 끝까지 수직선에 닿게 그립니다. 호가 수직선에 닿지 않으면 어느 눈금과 만나는지 흐려집니다. 인쇄 전에 점 P가 이웃 눈금과 겹치지 않는지 확대해서 봅니다.
• 방향을 섞어 출제합니다. 오른쪽으로만 옮기는 그림만 보면 학생들이 항상 "+"를 붙입니다. 왼쪽으로 옮긴 그림을 한 문항 이상 넣습니다.

쌤로그 중등 도판에서 기준점, 칸 수, 옮기는 방향을 바꾸면 위 그림들을 원하는 수치로 다시 그릴 수 있습니다.

자주 묻는 질문

√(−4)는 어떻게 되나요?

제곱해서 −4가 되는 실수는 없으므로 중학교 범위에서는 −4의 제곱근이 없다고 답합니다. 반면 −√4 = −2 는 "4의 음의 제곱근"으로 뜻이 있는 수입니다. 근호 안에 음수가 오는지, 근호 앞에 음의 부호가 붙은 것인지 구별해야 합니다.

0.333…이나 1.2121… 같은 무한소수도 무리수인가요?

아닙니다. 순환하는 무한소수는 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수입니다(0.333… = 1/3). 무리수는 순환하지 않는 무한소수입니다. "무한소수 = 무리수"로 외우면 틀립니다. 순환소수를 분수로 고치는 것은 순환소수가 유리수임을 이해할 수 있는 정도로 다루고, 유한소수를 순환소수로 나타내는 것은 다루지 않습니다([9수01-06] 해설).

두 무리수의 합은 항상 무리수인가요?

그렇지 않습니다. √2 와 −√2 는 둘 다 무리수지만 합은 0으로 유리수입니다. (2 + √3) + (2 − √3) = 4 도 같은 예입니다. 반면 유리수와 무리수의 합은 항상 무리수입니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.