중3 무리수를 수직선에 나타내기
√2, √5, π 같은 무리수를 수직선 위의 점으로 나타내는 작도를 그립니다. 모눈 위 직각삼각형, 정사각형의 대각선, 원 굴리기, 직각삼각형 굴리기의 좌표 구하는 법을 정리했습니다.
개념 정리
모눈 한 칸의 길이가 1일 때 가로 1칸, 세로 1칸인 직각삼각형의 빗변의 길이는 √(1² + 1²) = √2입니다. 가로 1칸, 세로 2칸이면 √5입니다. 넓이로 확인할 수도 있습니다. 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 3 × 3 − 4 × (½ × 1 × 2) = 5이므로 한 변은 √5입니다.
컴퍼스로 빗변의 길이를 수직선에 옮기면 무리수를 나타내는 점이 생깁니다. 기준점의 좌표가 c이고 길이가 √2이면 오른쪽 점은 c + √2, 왼쪽 점은 c − √2입니다.
지름이 1인 원을 수직선 위에서 한 바퀴 굴리면 원의 둘레 π만큼 움직이므로, 0에 있던 점은 π에 닿습니다. 이처럼 수직선은 유리수만으로는 빈틈이 있고, 실수 전체로 빈틈없이 채워집니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 모눈 위 직각삼각형: 기준점 1에서 빗변 √2를 오른쪽으로 옮긴 점 P의 좌표 1 + √2 구하기
- 정사각형의 대각선: 한 변이 1인 정사각형의 꼭짓점 B(−1)를 중심으로 대각선을 반지름으로 원을 그려 두 점 P(−1 + √2), Q(−1 − √2)를 함께 묻기
- 원 굴리기: 지름 1인 원을 한 바퀴 굴려 π를 나타내기, 빗변을 반지름으로 한 원으로 두 점 동시에 찍기
- 직각삼각형 굴리기: 밑변 1, 높이 2인 직각삼각형을 꼭짓점 B를 중심으로 굴려 빗변이 수직선에 닿은 점 1 + √5 구하기
- 찍은 점의 위치 판단: 1 + √2가 2와 3 사이에 있음을 1 < √2 < 2로 설명하기
이 도판은 4가지 보기로 그릴 수 있습니다: 모눈 위 직각삼각형, 정사각형의 대각선, 원 굴리기·빗변을 반지름으로 한 원, 직각삼각형 굴리기.
예제 · 기준점이 음수일 때
모눈 한 칸의 길이가 1이다. 수직선 위의 점 B(−2)에서 가로 2칸, 세로 1칸인 직각삼각형을 그리고, 빗변을 반지름으로 하는 원이 수직선과 만나는 두 점을 P(오른쪽), Q(왼쪽)라 하자. 두 점의 좌표를 구하고, P가 어느 두 정수 사이에 있는지 말하시오.
빗변의 길이는 √(2² + 1²) = √5이므로 P = −2 + √5, Q = −2 − √5입니다.
2 < √5 < 3이므로 0 < −2 + √5 < 1, 곧 P는 0과 1 사이에 있습니다(√5 ≈ 2.236이므로 P ≈ 0.236).
도판을 만들 때 챙길 점
- 모눈 보기는 가로·세로 칸 수를 (1, 1), (1, 2), (1, 3)으로 바꾸면 √2, √5, √10을 만들 수 있습니다. (2, 2)로 하면 √8 = 2√2가 되므로 근호 계산을 배운 뒤에 씁니다.
- "점 P의 좌표 쓰기"를 켜면 답이 그림에 나옵니다. 문제지에서는 끄고, 좌표를 a처럼 숨겨 묻습니다.
- 직각삼각형 굴리기의 "굴린 뒤의 삼각형(점선)"은 과정을 설명하는 개념 학습지에 켜고, 문제지에서는 끄는 편이 깔끔합니다.
- 기준점을 0이 아닌 수(예: −1, 2)로 두어야 "기준점을 더한다"는 핵심을 확인할 수 있습니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 기준점이 1인데 점 P의 좌표를 √2로만 씁니다.
- 왼쪽으로 옮긴 점을 1 − √2가 아니라 √2 − 1로 씁니다.
- 지름 1인 원을 반 바퀴 굴린 거리를 π로 답합니다(π/2가 맞습니다).
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.