원의 현과 접선: 수직이등분선, 깨진 원 복원, 접선의 길이

중3 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

원의 현과 접선 단원은 계산 도구가 두 개뿐입니다. 합동인 두 직각삼각형과 피타고라스 정리입니다. 중심에서 현에 수선을 내리거나, 중심과 접점을 이으면 어김없이 직각삼각형이 생기고, 반지름이 같다는 조건으로 두 삼각형이 합동이 됩니다. 이 구조를 한 번 보이면 성질을 따로 외울 필요가 줄어듭니다.

이 글에서는 현의 수직이등분선 → 깨진 원 복원 → 중심에서 같은 거리의 현 → 접선의 길이 → 원에 외접하는 사각형 순서로 정리하고, 원 그림을 시험지에 넣을 때 확인할 점을 덧붙입니다.

중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다

원 O의 현 AB에 중심 O에서 수선 OM을 내립니다. 삼각형 OAM과 OBM은 ∠OMA = ∠OMB = 90°, 빗변 OA = OB (반지름), OM은 공통이므로 RHS 합동입니다. 따라서 AM = BM 이고, 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분합니다.

거꾸로 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지납니다. 현의 양 끝에서 같은 거리에 있는 점은 모두 수직이등분선 위에 있고, 중심 O도 A와 B에서 같은 거리(반지름)에 있기 때문입니다. 이 역의 성질이 깨진 원을 복원하는 근거입니다.

위 그림에서 직각삼각형 OAM에 피타고라스 정리를 쓰면 AM² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, AM = 12 이고 AB = 2 × 12 = 24 입니다. 반지름 r, 중심에서 현까지의 거리 d, 현의 길이 l 사이에는 r² = d² + (l/2)² 이 성립합니다. 세 값 중 두 개를 알면 나머지를 구할 수 있습니다. 반으로 나누는 것을 잊고 l² 을 쓰는 실수가 가장 흔합니다.

깨진 원 조각으로 반지름 구하기

원 모양 접시나 바퀴의 일부만 남아 있을 때 원래 원의 중심과 반지름을 찾을 수 있습니다. 작도로는 조각 위에 현 두 개를 긋고 각각의 수직이등분선을 그립니다. 두 수직이등분선은 모두 중심을 지나므로 그 교점이 원래 원의 중심입니다. 계산으로는 현 하나와 그 현의 중점에서 호까지의 높이만 알아도 됩니다.

중심에서 같은 거리에 있는 두 현

한 원에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같습니다. 반대로 길이가 같은 두 현은 중심으로부터 같은 거리에 있습니다. 앞에서 본 식 r² = d² + (l/2)² 에서 r 이 같으므로 d 가 같으면 l 이 같고, l 이 같으면 d 가 같기 때문입니다.

위 그림은 이 성질과 각을 함께 묻는 전형적인 모양입니다. OM = ON 이므로 AB = AC 이고 삼각형 ABC는 이등변삼각형입니다. 사각형 AMON에서 ∠AMO = ∠ANO = 90° 이므로 ∠A = 360° − 90° − 90° − 140° = 40° 이고, ∠B = (180° − 40°) ÷ 2 = 70° 입니다. 현까지의 거리가 같다는 조건은 그림에서 OM, ON 위의 같은 길이 표시로 줍니다.

접선의 성질과 접선의 길이

원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름에 수직입니다. 원 밖의 한 점 P에서 원에 그을 수 있는 접선은 두 개이고, P에서 각 접점까지의 거리를 접선의 길이라고 합니다("접선의 길이"는 원문에서 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다고 한 용어입니다. 도형과 측정 고려 사항). 두 접점을 T, Q라 하면 삼각형 PTO와 PQO는 ∠PTO = ∠PQO = 90°, OT = OQ (반지름), OP 공통이므로 RHS 합동입니다. 따라서 PT = PQ 입니다.

사각형 PTOQ에서 두 각 ∠T, ∠Q 가 직각이므로 ∠TPQ + ∠TOQ = 180° 입니다. 또 합동에서 ∠TPO = ∠QPO 이므로 PO는 ∠TPQ 를 이등분합니다. 반지름 5, OP = 13 이면 PT = √(13² − 5²) = √144 = 12 처럼 접선의 길이도 피타고라스 정리로 구합니다.

삼각형의 내접원에도 같은 성질이 쓰입니다. 세 변이 AB = 8, BC = 10, CA = 12 인 삼각형에서 꼭짓점 A에서 내접원까지의 접선의 길이를 x라 하면 B, C에서의 접선의 길이는 8 − x, 12 − x 이고, 그 합이 BC = 10 이므로 x = (8 + 12 − 10) ÷ 2 = 5 입니다.

원에 외접하는 사각형

네 변이 모두 한 원에 접하는 사각형 ABCD를 원에 외접하는 사각형이라고 합니다. 네 꼭짓점에서 원까지의 접선의 길이를 각각 p, q, r, s 라 하면 AB = p + q, BC = q + r, CD = r + s, DA = s + p 입니다. 그러면 AB + CD = p + q + r + s = BC + DA 이므로 두 쌍의 대변의 길이의 합은 같습니다. 원에 외접하는 사각형은 교육과정 원문에 따로 이름이 나오지 않고, 접선에 관한 성질([9수03-18])을 적용한 내용입니다. 다루는 범위는 사용하는 교과서로 확인합니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 직각 표시와 같은 길이 표시를 목적에 맞게 켭니다. 중심에서 현에 내린 선분에 직각 기호가 없으면 수선이라는 조건이 빠집니다. 반대로 AM = MB 표시가 있으면 이등분 성질을 알려 주는 셈이므로 문제용에서는 끕니다.
• 구하는 길이는 치수선으로 표시합니다. 현의 길이 x를 M 근처에 적으면 AM인지 AB인지 모호해집니다. 현 전체에 치수선을 그어 x를 붙입니다.
• 접점을 점으로 찍습니다. 외접 사각형이나 내접원 그림에서 접점이 보이지 않으면 접선의 길이를 나눌 위치를 알 수 없습니다.
• 변 길이 라벨이 접선 길이로 읽히지 않게 합니다. 외접 사각형에서 변의 길이를 접점과 꼭짓점 사이에 적으면 한 구간의 길이로 오해할 수 있습니다. 변 바깥쪽 치수선으로 변 전체 길이임을 분명히 합니다.
• 깨진 원 문제는 원래 원을 점선으로 둘지 정합니다. 점선 원과 중심을 보여 주면 풀이 구조가 드러납니다. 문제용에서는 조각과 현, 높이만 남깁니다.

쌤로그 중등 도판에서 반지름·현·거리 가운데 모르는 값을 문자로 바꾸면 같은 그림으로 여러 문항을 만들 수 있습니다.

자주 묻는 질문

현의 수직이등분선이 중심을 지나는 것은 왜 그런가요?

수직이등분선은 현의 양 끝점 A, B에서 같은 거리에 있는 점들의 모임입니다. 원의 중심 O는 OA = OB (반지름) 이므로 이 선 위에 있어야 합니다. 삼각형의 외심이 세 변의 수직이등분선의 교점인 것과 같은 원리입니다.

원 밖의 점에서 접선이 두 개가 아닐 수도 있나요?

원 밖의 한 점에서는 항상 두 개의 접선을 그을 수 있습니다. 원 위의 점에서는 접선이 하나뿐이고, 원 안의 점에서는 접선을 그을 수 없습니다.

모든 사각형이 원에 외접할 수 있나요?

아닙니다. 두 쌍의 대변의 길이의 합이 같아야 원에 외접할 수 있습니다. 마름모와 정사각형은 네 변이 같아 항상 외접할 수 있지만, 가로와 세로가 다른 직사각형은 AB + CD ≠ AD + BC 이므로 네 변에 모두 접하는 원이 없습니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.