중3 깨진 원형 접시

중3 · 원의 성질 · 최종 수정 2026-09-30

깨진 원형 접시 조각에서 원래 원의 반지름을 구하는 도판입니다. 현의 수직이등분선이 원의 중심을 지난다는 성질과 피타고라스 정리로 식을 세우는 과정을 정리했습니다.

이 도판 값 바꿔 만들기

개념 정리

원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분합니다. 거꾸로 말하면 현의 수직이등분선은 반드시 원의 중심을 지납니다. 그래서 접시 조각의 가장자리(호)에 현 AB를 긋고 그 중점 M에서 수직으로 선을 올리면, 그 선 위 어딘가에 원래 원의 중심 O가 있습니다.

호의 가운데 점을 C라 하고 CM = h, AB = 2a, 반지름을 r이라 하면 OM = r − h입니다. 직각삼각형 OAM에서 r² = (r − h)² + a² 이고, 전개하면 r² 이 지워져 r = (a² + h²) ÷ 2h 라는 일차식이 됩니다. 기본값 AB = 16, CM = 4 이면 a = 8 이므로 r = (64 + 16) ÷ 8 = 10 입니다.

조각이 반원보다 크면(h > r) 중심 O가 M과 C 사이에 놓여 OM = h − r 이 됩니다. 제곱하면 식이 똑같으므로 공식 r = (a² + h²) ÷ 2h 는 두 경우에 모두 맞습니다.

시험·학습지에 자주 나오는 형태

• 현의 길이와 활꼴의 높이(CM)를 주고 원래 원의 반지름 구하기: 가장 흔한 형태입니다.
• 반지름과 활꼴의 높이를 주고 현 AB의 길이 구하기: AM = √(r² − (r − h)²) 을 두 배 합니다.
• 반지름과 현의 길이를 주고 CM 구하기: CM = r − √(r² − a²) 로, 중심에서 현까지의 거리를 먼저 구합니다.
• "깨진 바퀴", "터널 입구", "다리의 아치"처럼 소재만 바꾼 실생활 문제도 같은 구조입니다.

도판을 만들 때 챙길 점

• 문제지에는 "원래 원(점선)"과 "반지름 OA"를 끄고 조각만 남기면 학생이 중심을 스스로 찾아야 합니다. 풀이지에는 둘을 켜서 직각삼각형 OAM이 보이게 합니다.
• 현 AB의 길이는 가운데 M 옆이 아니라 현 전체에 치수선으로 붙습니다. AM으로 잘못 읽히지 않는지 인쇄 전에 확인합니다.
• "접시 조각 음영"을 켜면 호와 현으로 둘러싸인 부분이 실제 조각처럼 보여 문제 상황이 잘 전달됩니다.
• CM이 반지름의 1.9배를 넘으면 조각이 거의 원 전체가 되어 그림이 어색해지므로 입력 단계에서 막힙니다.

학생들이 자주 틀리는 부분

• OM을 r − h 로 두지 않고 h 로 두거나, 현의 길이 AB를 반으로 나누지 않고 그대로 넣습니다.
• 식을 전개할 때 (r − 6)² 을 r² − 36 으로 잘못 계산해 r 이 사라지지 않는다고 당황합니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.