중3 원의 접선과 할선

중3 · 원의 성질 · 최종 수정 2026-09-30

원 밖의 한 점에서 그은 두 접선을 그리는 도판입니다. 접선의 길이가 같은 이유와 두 접선 사이 각과 중심각의 관계를 정리하고, "접선과 할선" 보기가 중학교 교육과정 밖인 이유를 밝혔습니다.

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개념 정리

원의 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직입니다. 원 밖의 점 P에서 두 접선 PT, PQ를 그으면 △PTO와 △PQO는 빗변 PO가 공통이고 OT = OQ 인 직각삼각형이므로 RHS 합동입니다. 그래서 두 접선의 길이는 같습니다(PT = PQ). 원의 접선에 관한 성질([9수03-18])에 해당하며, "접선의 길이"는 원문이 교수·학습 상황에서 쓸 수 있다고 한 용어입니다(도형과 측정 고려 사항).

사각형 PTOQ에서 ∠T = ∠Q = 90° 이므로 ∠TPQ + ∠TOQ = 180° 입니다. 또 OP = 13, 반지름 5처럼 주어지면 직각삼각형 PTO에서 PT = √(13² − 5²) = 12 로 접선의 길이를 구합니다. 합동에서 ∠TPO = ∠QPO 이므로 OP는 ∠TPQ를 이등분합니다.

"접선과 할선" 보기는 P에서 그은 접선과, 원을 두 점에서 지나는 직선(할선)을 함께 그립니다. 이 그림에서 구하는 것은 세 선분의 길이 사이의 곱 관계인데, 이것은 원과 비례에 관한 성질입니다. 원문은 "원과 비례에 관한 성질은 다루지 않는다"고 적고 있으므로(도형과 측정 고려 사항) 이 보기는 중학교 교육과정 밖입니다. 중학교 문제지에는 "두 접선" 보기를 씁니다.

시험·학습지에 자주 나오는 형태

• 두 접선의 길이: PT = 7 이면 PQ = 7, 그리고 △PTQ는 이등변삼각형이므로 밑각 ∠PTQ = (180° − ∠P) ÷ 2
• 두 접선과 중심각: ∠TPQ = 48° 이면 ∠TOQ = 132°
• 중심까지의 거리와 반지름으로 접선의 길이 구하기: OP = 10, 반지름 6 → PT = √(100 − 36) = 8
• 서술형: △PTO ≡ △PQO(RHS 합동)를 보이고 PT = PQ, OP가 ∠TPQ를 이등분함을 설명하기

이 도판은 2가지 보기로 그릴 수 있습니다: 접선과 할선, 두 접선.

도판을 만들 때 챙길 점

• "두 접선" 보기에서 PT = PQ 같은 길이 표시는 기본으로 꺼져 있습니다. 학생이 보여야 할 성질을 그림에 미리 드러내지 않기 위해서입니다.
• 접점까지의 반지름과 직각 표시는 두 접선 보기에서 기본으로 켜져 있어 ∠TOQ를 묻기 좋습니다. 접선의 길이만 묻는 문제라면 끄고 그림을 단순하게 둡니다.
• 도판을 처음 열면 "접선과 할선" 보기가 먼저 나옵니다. 중학교 교육과정 밖의 보기이므로(도형과 측정 고려 사항: 원과 비례에 관한 성질) 중학교 문제지를 만들 때는 보기를 "두 접선"으로 바꿉니다.

학생들이 자주 틀리는 부분

• PT를 구할 때 OP를 빗변으로 잡지 않고 PT² = OP² + OT² 처럼 씁니다. 직각은 접점 T에 있으므로 빗변은 OP입니다.
• ∠TOQ를 ∠TPQ와 같다고 쓰거나 두 배로 계산합니다. 두 각은 더해서 180° 입니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.