중3 접선의 길이와 외접하는 도형
삼각형의 내접원, 원에 외접하는 사각형, 반원과 세 접선을 그리는 도판입니다. "원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다" 하나로 세 가지 형태를 푸는 방법을 정리했습니다.
개념 정리
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같습니다. 삼각형 ABC의 내접원이 세 변과 D(AB 위), E(BC 위), F(CA 위)에서 접하면 AD = AF, BD = BE, CE = CF 입니다. 이를 더하고 빼면 AD = (AB + CA − BC) ÷ 2 가 됩니다. AB = 7, BC = 8, CA = 9 이면 AD = 4, BE = 3, CF = 5 입니다.
원에 외접하는 사각형은 네 꼭짓점에서 그은 접선의 길이를 두 번씩 더하게 되므로 두 쌍의 대변의 길이의 합이 같습니다(AB + CD = AD + BC).
지름 AB인 반원의 양 끝 접선과 반원에 접하는 직선 CD가 만나면 CD = AD + BC 입니다. D에서 BC에 수선을 내리면 직각삼각형이 생겨 AB² = CD² − (BC − AD)² 이고, 정리하면 AB = 2√(AD × BC) 입니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 내접원과 접선의 길이: 세 변을 주고 AD 구하기, 또는 접선의 길이를 주고 한 변 구하기
- 원에 외접하는 사각형: AB = 7, BC = 9, DA = 6 이면 CD = 9 + 6 − 7 = 8
- 반원과 세 접선: AD = 2, BC = 8 이면 CD = 10, 지름 AB = √(10² − 6²) = 8
- 직각삼각형의 내접원: 접점까지의 반지름이 만든 작은 정사각형을 이용해 반지름 구하기
이 도판은 3가지 보기로 그릴 수 있습니다: 삼각형의 내접원, 원에 외접하는 사각형, 반원과 세 접선.
예제 · 내접원과 접선의 길이
△ABC의 내접원이 AB, BC, CA와 각각 D, E, F에서 접한다. AB = 10, BC = 12, CA = 8 일 때 AD, BE, CF의 길이를 구하시오.
AD = AF = x 라 하면 BE = BD = 10 − x, CE = CF = 8 − x 입니다.
BE + CE = 12 이므로 18 − 2x = 12, x = 3 → AD = 3, BE = 7, CF = 5 입니다.
예제 · 반원과 세 접선
지름이 AB인 반원의 양 끝 접선 위의 점 D, C를 이은 CD가 반원에 접한다. AD = 4, BC = 9 일 때 CD와 AB의 길이를 구하시오.
CD = AD + BC = 13 입니다. D에서 BC에 수선 DH를 그으면 CH = 9 − 4 = 5 이므로 AB = DH = √(13² − 5²) = 12 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 같은 접선의 길이 표시(눈금)는 기본으로 꺼져 있습니다. 켜면 AD = AF 같은 짝이 그림에 드러나 풀이 그림이 됩니다.
- 내접원 보기의 BE, CF와 내접원의 반지름은 기본으로 숨깁니다. 필요한 값만 보이게 해야 학생이 접선의 길이를 이어서 구합니다.
- 외접 사각형 보기의 "모양" 값은 답을 바꾸지 않고 네 접선의 길이 배분만 바꿉니다. 사각형이 너무 뾰족하면 입력 단계에서 알려 줍니다.
- 반원 보기의 보조선(수선)은 풀이지에서만 켭니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 내접원 문제에서 AD를 AB의 절반으로 둡니다.
- 외접 사각형에서 이웃한 두 변의 합을 같다고 잘못 씁니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.