중3 원의 중심과 현의 수직이등분선
원의 중심에서 현에 내린 수선, 중심에서 같은 거리에 있는 두 현, 두 동심원 사이의 넓이를 그립니다. 수선이 현을 이등분하는 이유와 피타고라스 정리를 쓰는 전형적인 계산을 정리했습니다.
개념 정리
원의 중심 O에서 현 AB에 수선 OM을 내리면 △OAM과 △OBM은 빗변 OA = OB, 공통변 OM인 직각삼각형이라 RHS 합동입니다. 그래서 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하고, 거꾸로 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지납니다.
반지름 r, 중심에서 현까지의 거리 d, 현의 길이 2a 사이에는 r² = d² + a² 이 성립합니다. 또 중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같고, 길이가 같은 두 현은 중심에서 같은 거리에 있습니다.
두 동심원에서 큰 원의 현 AB가 작은 원에 접하면 OM ⊥ AB 입니다. 두 원 사이의 넓이는 π(OA² − OM²) = π × AM² 이어서 두 반지름을 몰라도 현의 길이만으로 넓이가 정해집니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 반지름·거리·현: r = 5, OM = 3 이면 AM = 4, AB = 8
- 현과 거리로 반지름 구하기: AB = 24, OM = 5 → r = √(12² + 5²) = 13
- 중심에서 같은 거리의 두 현: OM = ON 이면 AB = AC 이므로 △ABC는 이등변삼각형, ∠A = 180° − ∠MON
- 두 동심원: 큰 원의 현 AB = 10 이 작은 원에 접하면 두 원 사이의 넓이 = 25π
이 도판은 3가지 보기로 그릴 수 있습니다: 반지름·거리·현, 중심에서 같은 거리의 두 현, 두 동심원.
예제 · 같은 거리에 있는 두 현
원 O의 중심에서 두 현 AB, AC에 내린 수선의 발을 각각 M, N이라 하자. OM = ON 이고 ∠MON = 116° 일 때 ∠ABC의 크기를 구하시오.
사각형 AMON에서 ∠AMO = ∠ANO = 90° 이므로 ∠A = 360° − 180° − 116° = 64° 입니다.
OM = ON 이므로 AB = AC, △ABC는 이등변삼각형이고 ∠ABC = (180° − 64°) ÷ 2 = 58° 입니다.
예제 · 두 동심원 사이의 넓이
중심이 같은 두 원에서 큰 원의 현 AB가 작은 원에 접하고 AB = 10 cm이다. 두 원 사이의 넓이를 구하시오.
접점을 M이라 하면 AM = 5 이고 OA² − OM² = AM² = 25 이므로 넓이 = π × 25 = 25π cm² 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 기본 보기의 AM = MB 같은 길이 표시는 기본으로 꺼져 있습니다. "수선이 현을 이등분한다"는 성질 자체를 쓰게 하려면 끈 채로 둡니다.
- 두 동심원 보기에서 반지름 OA·OM 보조선은 풀이 방향을 알려 주므로 문제지에서는 끄고, "작은 원의 크기(모양)"로 두 원의 간격만 보기 좋게 맞춥니다.
- 두 현 보기에서 ∠BAC는 기본으로 숨겨져 있습니다. ∠MON만 주어야 사각형 AMON의 내각의 합을 쓰는 문제가 됩니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- OM을 현까지의 거리로 두지 않고 반지름에서 바로 현의 길이를 빼는 식으로 계산합니다.
- AM을 구한 뒤 두 배 하지 않고 현의 길이로 답합니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.