중3 곱셈 공식과 넓이 모형
곱셈 공식을 정사각형·직사각형의 넓이 조각, 떼어 내고 잘라 붙이기, 대수 타일로 그립니다. 전개식이 넓이로 성립하는 까닭과 인수분해로 거꾸로 읽는 법을 정리했습니다.
개념 정리
한 변이 a + b인 정사각형을 가로·세로로 나누면 a², ab, ab, b²의 네 조각이 생기므로 (a + b)² = a² + 2ab + b²입니다. 같은 방법으로 가로 x + 4, 세로 x + 2인 직사각형은 x², 4x, 2x, 8로 나뉘어 (x + 4)(x + 2) = x² + 6x + 8입니다. 이 도판의 식은 모두 [9수02-19] 해설이 다룬다고 적은 곱셈과 인수분해의 경우((a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b) 등) 안에 있습니다.
한 변 a인 정사각형에서 한 변 b인 정사각형을 떼어 낸 넓이는 a² − b²입니다. 남은 부분을 잘라 붙이면 가로 a + b, 세로 a − b인 직사각형이 되므로 (a + b)(a − b) = a² − b²입니다.
인수분해는 전개의 거꾸로입니다. x² 타일 1개, x 막대 5개, 1 조각 6개로 빈틈없는 직사각형을 만들면 가로 x + 3, 세로 x + 2가 되어 x² + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)입니다. 합이 5, 곱이 6인 두 수 3, 2를 찾는 것과 같습니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- (a + b)²의 넓이: 네 조각의 넓이를 쓰고 전개식 완성하기, (a + b)² = a² + b²가 틀린 까닭을 그림으로 설명하기
- 떼어 내고 잘라 붙이기: 합차 공식과 (a − b)² = a² − 2ab + b²를 넓이로 보이기
- (x + a)(x + b)의 넓이: 조각 넓이의 합으로 x의 계수와 상수항 확인하기
- 대수 타일: 주어진 타일로 직사각형을 만들어 가로·세로 식 구하기, 직사각형이 안 되는 타일 묶음 찾기
- 수의 계산: 102² = (100 + 2)² = 10404, 98 × 102 = 100² − 2² = 9996
이 도판은 4가지 보기로 그릴 수 있습니다: (a + b)²의 넓이, 떼어 내고 잘라 붙이기, (x + a)(x + b)의 넓이, 대수 타일로 직사각형 만들기.
예제 · 타일로 인수분해하기
한 변이 x인 정사각형 타일 1개, 가로 x·세로 1인 막대 타일 7개, 한 변이 1인 정사각형 타일 12개를 모두 써서 빈틈없이 직사각형을 만들었다. 가로와 세로의 식과 둘레를 구하시오.
넓이의 합은 x² + 7x + 12이고, 합이 7, 곱이 12인 두 수는 3과 4입니다. 따라서 가로와 세로는 x + 3, x + 4입니다.
둘레는 2 × {(x + 3) + (x + 4)} = 4x + 14입니다. 검산: (x + 3)(x + 4) = x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- "모양 값"은 조각의 비율만 정합니다. a와 b의 모양 값을 5와 2처럼 확실히 다르게 두어야 a² 조각과 b² 조각이 한눈에 구별됩니다.
- "조각의 넓이 쓰기"를 켜면 전개식이 그림에 드러납니다. 문제지에서는 끄고 조각에 ①, ②를 붙여 묻는 방식이 좋습니다.
- 타일 보기는 막대 개수 m과 작은 타일 개수 n이 x² + mx + n = (x + p)(x + q) 꼴이 될 때만 그려집니다. m = 5, n = 5처럼 직사각형이 안 되는 조합은 입력 단계에서 알려 줍니다.
- 잘라 붙이기 보기의 "잘라 붙인 모양"은 화살표 오른쪽에 결과 직사각형을 함께 그려 설명용으로 씁니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- (a + b)²을 a² + b²으로 전개해 2ab를 빠뜨립니다.
- (a − b)²의 마지막 항을 −b²로 씁니다.
- (x + 4)(x + 2)의 상수항을 4 + 2 = 6으로 씁니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.