중3 막대그래프로 보는 자료의 분포
변량별 도수를 막대그래프로 그리고 평균·분산·표준편차를 계산하며, 평균이 같은 여러 반의 흩어진 정도를 비교합니다. 그래프 모양만으로 분산의 크기를 판단하는 요령을 정리했습니다.
개념 정리
(편차) = (변량) − (평균)이고 편차의 총합은 항상 0입니다. 그래서 흩어진 정도는 편차를 제곱해 평균한 분산으로 나타내고, 분산의 음이 아닌 제곱근을 표준편차라 합니다. 표준편차는 변량과 단위가 같습니다.
도수가 있는 자료는 (평균) = {(변량) × (도수)}의 총합 ÷ (도수의 총합), (분산) = {(편차)² × (도수)}의 총합 ÷ (도수의 총합)입니다. 변량 1~5의 도수가 2, 4, 8, 4, 2이면 평균은 60 ÷ 20 = 3, 분산은 (4 × 2 + 1 × 4 + 0 + 1 × 4 + 4 × 2) ÷ 20 = 24 ÷ 20 = 1.2, 표준편차는 √1.2입니다.
막대그래프가 좌우 대칭이면 평균은 가운데 변량입니다. 평균 근처의 막대가 높을수록 분산이 작고, 양 끝의 막대가 높을수록 분산이 큽니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 막대그래프와 분산: 그래프에서 도수를 읽어 평균, 분산, 표준편차 계산하기
- 여러 반 비교: 평균이 3으로 같은 (가) 분산 1.2와 (나) 분산 2.6을 비교해 (나)가 더 넓게 흩어졌다고 판단하기
- 보기 그래프 고르기: 평균이 같은 다섯 그래프 중 분산이 가장 큰 것(양 끝에 몰린 4번, 분산 3) 고르기
- 고르게 퍼진 그래프: 도수가 모두 4인 그래프의 분산 2가 가운데가 불룩한 그래프의 분산 1보다 크다는 것 확인하기
이 도판은 3가지 보기로 그릴 수 있습니다: 막대그래프와 분산, 여러 반 비교, 보기 그래프 고르기.
예제 · 도수가 있는 자료의 분산
변량 2, 4, 6, 8의 도수가 차례로 1, 3, 3, 1일 때 평균, 분산, 표준편차를 구하시오.
평균은 (2 × 1 + 4 × 3 + 6 × 3 + 8 × 1) ÷ 8 = 40 ÷ 8 = 5입니다.
편차는 −3, −1, 1, 3이므로 분산은 (9 × 1 + 1 × 3 + 1 × 3 + 9 × 1) ÷ 8 = 24 ÷ 8 = 3, 표준편차는 √3입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 도수의 총합을 10, 20처럼 잡고 좌우 대칭으로 도수를 주면 평균이 정수가 되어 분산 계산에 집중할 수 있습니다.
- "막대 위에 도수"를 켜면 계산 문제, 끄고 "가로 눈금선"만 두면 눈금을 읽는 문제가 됩니다.
- 여러 반 비교는 2개 또는 3개 반을 고를 수 있고, 반 이름과 도수를 따로 입력합니다.
- 보기 그래프 고르기는 분산이 가장 큰 것과 가장 작은 것 중 무엇을 물을지 정합니다. 보기끼리 분산이 뚜렷이 다르도록(예: 0.8, 1, 1.6, 2, 3) 도수를 고릅니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 편차의 제곱에 도수를 곱하지 않고 더합니다.
- 편차의 제곱의 총합을 도수의 총합으로 나누지 않아 분산을 24로 답합니다.
- 막대 높이가 고르면 흩어진 정도가 작다고 착각합니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.