중3 접선과 현이 이루는 각
접선과 현이 이루는 각이 그 각 안의 호에 대한 원주각과 같다는 성질을 네 가지 모양으로 그립니다. 기본형, 지름이 있을 때, 두 원의 공통인 접선, 내접 사각형과 함께 쓰는 법을 정리했습니다.
개념 정리
원의 접선 AT와 접점 A를 지나는 현 AB가 이루는 각 ∠BAT는 그 각의 내부에 있는 호 AB에 대한 원주각 ∠ACB와 같습니다. 점 A를 지나는 지름 AD를 그으면 ∠DAT = 90°, 지름에 대한 원주각 ∠ABD = 90° 이므로 ∠BAT = 90° − ∠BAD = ∠ADB 이고, ∠ADB는 ∠ACB와 같은 호의 원주각입니다.
핵심은 어느 호의 원주각인지 고르는 일입니다. ∠BAT 안에 들어 있는 호가 호 AB 이고, 원주각을 만드는 점 C는 그 반대편 호 위에 있어야 합니다.
교육과정 원문의 원 단원 성취기준에는 원주각의 성질([9수03-19])만 적혀 있고, "접선과 현이 이루는 각"이라는 이름은 따로 나오지 않습니다. 위의 설명처럼 원주각의 성질에서 이어지는 내용이므로, 두 원이 접하는 모양이나 내접 사각형과 함께 쓰는 문제까지 얼마나 다룰지는 쓰는 교과서로 확인합니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 기본형: ∠BAT = 65° 이면 ∠ACB = 65°
- 지름이 있을 때: BC가 지름, 직선 BC의 연장선 위의 점 P에서 그은 접선 PA가 있으면 ∠PAB = ∠ACB, ∠BAC = 90° 를 함께 써서 ∠APB = 90° − 2∠ACB
- 두 원의 공통인 접선: 두 원이 T에서 접할 때 접선과 현, 맞꼭지각을 이어서 ∠BAT = ∠DCT, 그래서 AB ∥ CD
- 내접 사각형과 접선: ∠DAT = ∠ABD 를 구한 뒤 대각의 합 180° 로 ∠BCD = ∠DAT + ∠ADB
이 도판은 4가지 보기로 그릴 수 있습니다: 접선과 현, 지름이 있을 때, 두 원의 공통인 접선, 내접 사각형과 접선.
예제 · 지름과 접선
원 O에서 BC는 지름이고, 직선 CB의 연장선 위의 점 P에서 그은 접선이 원과 점 A에서 접한다. ∠APB = 30° 일 때 ∠ACB와 ∠ABC의 크기를 구하시오.
∠ACB = x 라 하면 접선과 현이 이루는 각에 의해 ∠PAB = x, 지름에 대한 원주각이므로 ∠BAC = 90° 입니다.
△APC에서 30° + (x + 90°) + x = 180° 이므로 x = 30°, ∠ABC = 90° − 30° = 60° 입니다.
검산: ∠ABC는 △APB의 외각이므로 ∠APB + ∠PAB = 30° + 30° = 60° 로 맞습니다.
예제 · 내접 사각형과 접선
원에 내접하는 사각형 ABCD에서 직선 AT는 점 A에서의 접선이다. ∠DAT = 40°, ∠ADB = 55° 일 때 ∠BCD의 크기를 구하시오.
∠ABD = ∠DAT = 40° 이므로 △ABD에서 ∠BAD = 180° − 95° = 85° 입니다. 대각의 합이 180° 이므로 ∠BCD = 95° 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 기본형에서 "반지름 OA와 수직 표시"를 켜면 증명용 그림이, 끄면 계산 문제용 그림이 됩니다.
- 지름 보기의 ∠BAC 직각 표시와 ∠ABC는 기본으로 숨겨져 있습니다. 풀이의 한 단계이므로 문제지에서는 숨긴 채로 둡니다.
- 두 원 보기에서 "점 T에서 같은 각 표시"와 "평행 표시"는 학생이 보여야 할 성질이므로 증명 문제 문제지에서는 끕니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 접선과 현이 이루는 각을 반대편 호(각 밖의 호)에 대한 원주각과 같다고 씁니다.
- 접선 쪽 각 ∠BAT와 반대쪽 각 ∠BAS(= 180° − ∠BAT)를 섞어 씁니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.