중3 삼각비로 넓이 구하기

중3 · 삼각비의 활용 · 최종 수정 2026-09-30

두 변과 끼인각으로 삼각형·평행사변형의 넓이를, 두 대각선과 사이각으로 사각형의 넓이를, 중심각으로 정다각형의 넓이를 구합니다. 끼인각이 둔각이면 연장선에 수선을 내려 예각으로 푸는 법도 정리했습니다.

이 도판 값 바꿔 만들기

개념 정리

△ABC에서 AB = c, AC = b 이고 끼인각 ∠A가 예각이면 C에서 AB에 내린 높이가 b × sin A 이므로 넓이 = ½ × b × c × sin A 입니다. 원문은 "삼각비의 값은 0°에서 90°까지의 각도에 대한 것만 다룬다"고 적고 있으므로(도형과 측정 고려 사항) ∠A가 둔각일 때는 둔각의 삼각비를 쓰지 않습니다. C에서 직선 AB에 수선 CH를 내리면 H는 BA의 연장선 위에 생기고, 직각삼각형 CAH의 ∠CAH = 180° − ∠A 는 예각입니다. 그래서 높이 CH = b × sin(∠CAH) 를 구한 뒤 넓이 = ½ × c × CH 로 계산합니다.

평행사변형은 대각선으로 합동인 삼각형 두 개가 되므로, 이웃한 두 변 a, b와 그 사이의 예각 B에 대해 넓이 = a × b × sin B 입니다. 이웃한 두 각의 합이 180° 이므로 둘 중 예각인 쪽을 고르면 됩니다. 두 대각선 AC = p, BD = q가 O에서 만나고 두 대각선이 이루는 예각이 θ이면, A와 C에서 BD에 내린 높이가 각각 OA × sin θ, OC × sin θ 입니다. 그래서 넓이 = ½ × q × (OA + OC) × sin θ = ½ × p × q × sin θ 입니다.

정n각형은 중심 O에서 꼭짓점으로 선을 그으면 합동인 이등변삼각형 n개로 나뉘고 중심각은 360° ÷ n 입니다. 그래서 넓이 = n × ½ × OA² × sin(360° ÷ n) 입니다. 도판은 n = 5~8 이라 중심각이 72° 이하의 예각입니다. 정육각형은 이 삼각형이 정삼각형이라 한 변이 곧 OA 입니다. 정삼각형은 중심각이 120° 라 이 식을 그대로 쓰면 90° 를 넘는 각의 삼각비가 필요하므로, 중학교에서는 높이를 직접 구해 넓이를 냅니다.

시험·학습지에 자주 나오는 형태

• 삼각형: AB = 10, AC = 8, ∠A = 30° → ½ × 10 × 8 × ½ = 20
• 둔각 끼인각: ∠A = 120° 이면 BA의 연장선에 수선을 내려 예각 60° 를 낀 직각삼각형에서 높이를 구하기
• 평행사변형: 6, 10, ∠B = 60° → 30√3
• 두 대각선과 사이각: 10, 8, 60° → 20√3
• 정다각형: 정육각형 OA = 4 → 6 × ½ × 16 × sin 60° = 24√3, 넓이를 주고 끼인각(또는 한 변)을 구하는 거꾸로 문제

이 도판은 4가지 보기로 그릴 수 있습니다: 삼각형, 평행사변형, 두 대각선과 사이각, 정다각형.

도판을 만들 때 챙길 점

• 넓이는 기본으로 S로 숨깁니다. 넓이를 주고 한 변이나 끼인각을 묻고 싶으면 S를 보이게 하고 그 값을 미지수로 바꿉니다. 끼인각을 구할 때 넓이가 ½ab보다 크면 삼각형이 없으므로 입력 단계에서 알려 줍니다.
• 정다각형 보기의 분할선과 중심각 표시는 풀이 방향이라 기본으로 꺼져 있습니다. 정육각형에서 "한 변 AB" 표시를 고르면 한 변의 길이를 주는 문제가 됩니다.
• 두 대각선 보기의 교점 위치는 답을 바꾸지 않습니다. 길이 글자와 각 표시가 겹치지 않도록만 조절합니다.
• 끼인각에 90° 보다 큰 값을 넣으면 도판이 만드는 자동 풀이 줄에 90° 를 넘는 각의 삼각비 표기가 나옵니다. 중학교 문제지의 풀이에는 그 줄을 옮기지 말고, 연장선에 내린 수선과 예각으로 풀이를 적습니다.

학생들이 자주 틀리는 부분

• 끼인각이 둔각인데 수선의 발이 변 AB 위에 있다고 보고 높이를 잘못 잡습니다. 수선의 발은 BA의 연장선 위에 있고, 높이를 구할 때 쓰는 각은 예각 ∠CAH 입니다.
• 평행사변형 넓이에 ½ 을 붙이거나, 사각형 대각선 공식에서 ½ 을 빼먹습니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.