중3 높이를 그어 길이 구하기
일반 삼각형에 높이 AH를 그어 두 직각삼각형으로 나누고 삼각비로 길이를 구하는 도판입니다. 수선의 발이 변 위에 있을 때, 연장선 위에 있을 때, 두 변과 끼인각을 줄 때를 정리했습니다.
개념 정리
삼각비는 직각삼각형에서만 정의됩니다. 그래서 일반 삼각형은 꼭짓점 A에서 BC에 수선 AH를 그어 직각삼각형 두 개로 나눈 뒤 각각에 삼각비를 씁니다.
∠B, ∠C가 모두 예각이면 H는 변 BC 위에 있고 BC = BH + CH 입니다. ∠BAH = 90° − ∠B 이므로 BH = AH × tan(∠BAH) 이고, 같은 방법으로 CH를 나타내 AH × (tan ∠BAH + tan ∠CAH) = BC 를 풉니다. ∠C가 둔각이면 H는 BC의 연장선 위에 생기고 BC = BH − CH 로 뺄셈이 됩니다.
두 변 AB, BC와 끼인각 ∠B를 알 때는 AH = AB × sin B, BH = AB × cos B 로 구한 뒤 CH = BC − BH, AC = √(AH² + CH²) 로 나머지 한 변을 구합니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 양쪽 각이 예각: ∠B = 45°, ∠C = 60°, BC = 10 → AH = 5(3 − √3) ≈ 6.34
- 수선의 발이 연장선 위: ∠B = 30°, 외각 쪽 ∠ACH = 45°, BC = 20 → AH = 10(√3 + 1)
- 두 변과 끼인각: AB = 10, BC = 16, ∠B = 60° → AH = 5√3, CH = 11, AC = 14
- 강 건너 두 지점 사이 거리, 두 곳에서 본 산의 높이 같은 실생활 문제도 같은 구조입니다([9수03-17] 해설의 거리·높이 구하기).
이 도판은 3가지 보기로 그릴 수 있습니다: 양쪽 각이 예각, 수선의 발이 연장선 위, 두 변과 끼인각.
예제 · 수선의 발이 연장선 위에 있을 때
△ABC에서 ∠B = 30°, BC = 10 이고 ∠C는 둔각이다. 꼭짓점 A에서 직선 BC에 내린 수선의 발 H에 대하여 ∠ACH = 60° 일 때 AH의 길이를 구하시오.
∠BAH = 60° 이므로 BH = AH × tan 60° = √3 AH, ∠CAH = 30° 이므로 CH = AH × tan 30° = AH/√3 입니다.
BC = BH − CH = AH(√3 − 1/√3) = AH × 2/√3 = 10 이므로 AH = 5√3 입니다.
검산: BH = 15, CH = 5, BH − CH = 10
예제 · 두 변과 끼인각
△ABC에서 AB = 5, BC = 8, ∠B = 60° 일 때 AC의 길이를 구하시오.
AH = 5 × sin 60° = 5√3/2, BH = 5 × cos 60° = 5/2, CH = 8 − 5/2 = 11/2 입니다.
AC² = 75/4 + 121/4 = 196/4 = 49 이므로 AC = 7 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- ∠BAH, ∠CAH 표시는 기본으로 꺼져 있습니다. 켜면 "90° − ∠B"를 계산하는 단계가 그림에 드러나므로 풀이지에서만 켭니다.
- 높이를 구하는 문제는 수선 AH와 직각 기호를 남기고, 밑변을 구하는 문제는 BC를 미지수로 바꿉니다.
- ∠C가 둔각인 삼각형을 그리려면 보기를 "수선의 발이 연장선 위"로 바꿔야 합니다. 이 보기에서는 BC의 연장선이 점선으로 함께 그려집니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 연장선 위에 H가 있는데도 BC = BH + CH 로 더합니다.
- ∠B에서 tan 을 써야 하는 변(BH : AH)을 거꾸로 잡아 AH = BH × tan B 와 BH = AH × tan B 를 혼동합니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.