중3 사분원을 이용한 삼각비
반지름이 1인 사분원에서 sin, cos, tan 값을 선분의 길이로 나타내고, 눈금으로 값을 읽고, 각이 커질 때 값의 변화를 비교하는 도판입니다. 0°와 90°의 삼각비까지 정리했습니다.
개념 정리
반지름이 1인 사분원에서 ∠AOB = x 이고 A가 원 위의 점, B가 A에서 가로 반지름 OD에 내린 수선의 발이면 빗변 OA = 1 이므로 sin x = AB, cos x = OB 입니다. D에서 그은 접선과 OA의 연장선이 만나는 점을 C라 하면 밑변 OD = 1 이므로 tan x = CD 입니다. 분모를 1로 만드는 것이 이 그림의 핵심입니다.
이 그림에서 x를 0° 에서 90° 까지 키우면 AB는 0에서 1까지 길어지고, OB는 1에서 0까지 짧아지며, CD는 0에서 한없이 길어집니다. 그래서 sin 0° = 0, cos 0° = 1, tan 0° = 0, sin 90° = 1, cos 90° = 0 이고 tan 90° 는 정할 수 없습니다.
x < 45° 이면 sin x < cos x, x = 45° 이면 같고, x > 45° 이면 sin x > cos x 입니다. 또 BD = 1 − cos x 처럼 두 선분의 차로 나타내는 문제도 나옵니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 선분으로 나타내기: sin 50° 를 나타내는 선분 고르기, BD의 길이를 cos 으로 나타내기
- 눈금에서 값 읽기: 모눈이 있는 사분원에서 sin 40° ≈ 0.64 처럼 소수 둘째 자리까지 읽기
- 값의 변화와 대소 비교: sin 20°, cos 20°, tan 50° 크기 순서 정하기
- 삼각비의 표를 이용해 선분의 근삿값 구하기
이 도판은 3가지 보기로 그릴 수 있습니다: 선분으로 나타내기, 눈금에서 값 읽기, 각이 커질 때 값의 변화.
예제 · 선분의 길이 구하기
반지름이 1인 사분원에서 ∠AOB = 50° 이다. sin 50° = 0.7660, cos 50° = 0.6428, tan 50° = 1.1918 일 때 AB, OB, BD, CD의 길이를 구하시오.
AB = sin 50° = 0.7660, OB = cos 50° = 0.6428 입니다.
BD = OD − OB = 1 − 0.6428 = 0.3572, CD = tan 50° = 1.1918 입니다.
예제 · 크기 비교
sin 20°, cos 20°, tan 50° 를 작은 것부터 차례로 쓰시오.
20° < 45° 이므로 sin 20° < cos 20° 이고, cos 20° < 1 입니다. 45° < 50° 이므로 tan 50° > tan 45° = 1 입니다.
따라서 sin 20° < cos 20° < tan 50° 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- "선분으로 나타내기" 보기에서 반지름 1 표시를 끄면 학생이 OA = 1 을 스스로 찾아야 하는 문제가 됩니다. 구하는 선분은 기본으로 a 로 숨깁니다.
- "눈금에서 값 읽기" 보기는 10° 간격 각도 눈금을 켜고 끌 수 있습니다. 모눈이 촘촘하므로 인쇄 배율을 줄이지 말고 A4 한 칸 이상 크기로 넣습니다.
- "값의 변화" 보기의 선분 이름은 기본이 기호 a, b 입니다. sin 30° 같은 이름을 쓰면 비교 결과가 그림에서 바로 보이므로 문제지에서는 기호를 씁니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- tan x 를 원 위의 점에서 내린 선분에서 찾으려 합니다. tan 은 밑변이 1인 삼각형 OCD 에서 읽습니다.
- cos x 는 각이 커질수록 작아진다는 것을 놓쳐 cos 20° < cos 70° 로 답합니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.