다면체와 회전체, 기둥·뿔·구의 겉넓이와 부피 정리

중1 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

입체도형 단원은 공식이 많아 보이지만 두 가지 생각으로 정리됩니다. 겉넓이는 전개도를 펼쳐 평면도형의 넓이를 더한 것이고, 부피는 기둥이 기본이고 뿔은 그 1/3입니다. 구만 따로 기억하면 됩니다. 공식을 전개도와 함께 가르치면 원뿔의 옆넓이처럼 헷갈리는 부분도 부채꼴 넓이로 바로 연결됩니다.

이 글은 다면체 → 회전체 → 전개도 → 기둥의 겉넓이와 부피 → 뿔과 구 순서로 정리합니다. 겨냥도를 시험지에 넣을 때 보이지 않는 모서리와 치수를 어떻게 표시할지도 마지막에 다룹니다.

다면체: 각기둥, 각뿔, 각뿔대

다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형을 다면체라 하고, 면의 개수에 따라 사면체, 오면체, 육면체라고 부릅니다. 이 글에서 다루는 다면체는 각기둥, 각뿔, 각뿔대이고, 도형과 측정 고려 사항에 따라 모양이 볼록인 경우만 다룹니다. 각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라 위쪽 각뿔을 떼어 낸 것이 각뿔대입니다. 이름은 밑면의 모양으로 정합니다. 밑면이 오각형이면 오각기둥, 오각뿔, 오각뿔대입니다.

면, 모서리, 꼭짓점의 개수는 밑면의 변의 수 n으로 정리됩니다. 오각뿔은 밑면 1개와 옆면(삼각형) 5개로 면이 6개, 밑면의 모서리 5개와 옆 모서리 5개로 모서리가 10개, 밑면의 꼭짓점 5개와 위의 꼭짓점 1개로 꼭짓점이 6개입니다.

모든 면이 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 다면체를 정다면체라고 합니다. 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 다섯 가지뿐입니다. 한 꼭짓점에 모인 각의 합이 360°보다 작아야 입체가 되기 때문입니다. 정삼각형은 3개, 4개, 5개까지(60° × 5 = 300°), 정사각형은 3개(270°), 정오각형은 3개(324°)까지만 모일 수 있고, 정육각형은 3개만 모여도 360°가 되어 평면이 됩니다.

회전체와 단면

평면도형을 한 직선을 축으로 1회전 시켜 만든 입체도형을 회전체라고 합니다. 직사각형을 돌리면 원기둥, 직각삼각형을 직각을 낀 변을 축으로 돌리면 원뿔, 반원을 지름을 축으로 돌리면 구가 됩니다. 두 밑각이 직각인 사다리꼴을 밑변에 수직인 변을 축으로 돌리면 원뿔대가 됩니다.

회전체를 자른 단면은 자르는 방향에 따라 두 가지로 정리됩니다([9수03-07] 해설에 따라 단면의 모양은 회전체의 성질을 이해하는 데 필요한 정도로 다룹니다). 회전축에 수직인 평면으로 자르면 단면은 항상 원입니다. 회전축을 포함하는 평면으로 자르면 단면은 회전축에 대하여 선대칭인 도형이고, 처음 평면도형과 그것을 축에 대하여 뒤집은 도형을 합친 모양입니다. 그림의 원뿔을 축을 포함하는 평면으로 자르면 밑변 6, 높이 4인 이등변삼각형이 나오고 넓이는 ½ × 6 × 4 = 12입니다.

전개도: 원기둥과 원뿔을 펼치면

겉넓이를 구하는 가장 확실한 방법은 전개도를 떠올리는 것입니다. 원기둥을 펼치면 합동인 원 2개와 직사각형 1개가 나옵니다. 직사각형의 세로는 원기둥의 높이, 가로는 밑면의 둘레 2πr입니다. 가로가 밑면의 둘레와 같아야 옆면이 밑면을 정확히 한 바퀴 감쌉니다.

원뿔을 펼치면 원 1개와 부채꼴 1개가 나옵니다. 부채꼴의 반지름은 원뿔의 모선의 길이 l이고, 부채꼴의 호의 길이는 밑면의 둘레 2πr과 같습니다. 원뿔 문제는 거의 모두 이 한 문장에서 풀립니다.

그림에서 부채꼴의 호의 길이는 2π × 3 = 6π입니다. 부채꼴의 반지름이 9이므로 중심각은 360° × 6π ÷ (2π × 9) = 360° × 3/9 = 120°이고, 옆넓이는 부채꼴의 넓이 ½ × 9 × 6π = 27π입니다. 밑넓이 π × 3² = 9π를 더하면 겉넓이는 36π입니다. 옆넓이를 πrl(= π × 3 × 9)로 기억해도 되지만, 부채꼴의 넓이 ½ × (반지름) × (호의 길이)에서 나왔다는 것을 함께 보여 주는 편이 오래 갑니다.

기둥의 겉넓이와 부피

기둥의 겉넓이는 (밑넓이) × 2 + (옆넓이)이고, 옆면을 펼치면 가로가 밑면의 둘레, 세로가 높이인 직사각형이므로 옆넓이는 (밑면의 둘레) × (높이)입니다. 부피는 밑면을 높이만큼 쌓은 것이므로 (밑넓이) × (높이)입니다. 각기둥과 원기둥 모두 같은 식입니다.

원기둥도 같습니다. 반지름 3, 높이 6인 원기둥의 겉넓이는 π × 3² × 2 + 2π × 3 × 6 = 18π + 36π = 54π, 부피는 π × 3² × 6 = 54π입니다. 겉넓이와 부피의 값이 우연히 같아도 단위(cm²와 cm³)는 다릅니다.

뿔과 구의 겉넓이와 부피

뿔의 부피는 밑넓이와 높이가 같은 기둥의 부피의 1/3입니다. 뿔 모양 그릇에 물을 가득 담아 같은 밑면, 같은 높이의 기둥 모양 그릇에 부으면 세 번 만에 가득 차는 실험으로 확인합니다. 원뿔의 겉넓이는 밑넓이 πr²에 전개도의 부채꼴 넓이를 더합니다. 반지름 3, 높이 4, 모선의 길이 5인 원뿔은 부피가 ⅓ × π × 3² × 4 = 12π, 겉넓이가 9π + ½ × 5 × 6π = 9π + 15π = 24π입니다.

반지름이 r인 구의 겉넓이는 4πr², 부피는 4/3 πr³입니다. 겉넓이는 구의 겉면을 끈으로 감은 길이가 반지름이 r인 원 4개를 덮는 길이와 같다는 활동으로, 부피는 구가 꼭 맞게 들어가는 원기둥 부피의 2/3라는 실험으로 설명합니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 보이지 않는 모서리는 점선으로 그립니다. 겨냥도에서 뒤쪽 모서리를 실선으로 그리면 면·모서리 개수를 세는 문제에서 학생이 모양을 잘못 읽습니다.
• 피타고라스 정리를 배우기 전이라면 계산에 필요한 길이를 모두 줍니다. 원뿔의 모선이나 직각삼각형의 빗변은 피타고라스 정리([9수03-15])로 구하는 값이므로, 그 단원 앞에서 쓰는 문제라면 그림이나 문제에 직접 씁니다.
• 입체를 여러 개 붙이거나 파낸 복잡한 모양은 피합니다. 도형과 측정 고려 사항에 "복잡하게 변형된 입체도형의 겉넓이와 부피를 구하는 문제는 다루지 않는다"고 되어 있습니다. 이 글의 예제처럼 기둥·뿔·구 하나, 또는 원기둥에서 구를 빼는 정도의 간단한 조합으로 수를 잡습니다.
• 회전체 문제에서 회전한 결과(답)는 따로 그립니다. 평면도형과 회전체를 함께 그리면 "어떤 입체가 되는가"의 답이 드러납니다. 해설지에만 회전체를 넣습니다.
• 전개도의 호의 길이·중심각은 구하는 값일 때 지웁니다. 원뿔 전개도에서 부채꼴의 중심각을 묻는다면 그림에는 반지름과 모선만 남깁니다.
• 치수선이 겨냥도의 모서리와 겹치지 않게 합니다. 높이를 나타내는 선은 바깥쪽에 따로 그리고, 원의 반지름은 중심에서 한 방향으로만 긋습니다.

쌤로그 도판 편집기의 입체도형 도판은 반지름과 높이를 바꾸면 겨냥도의 비율과 겉넓이·부피 계산이 함께 바뀌므로, 같은 유형의 문제를 여러 크기로 만들 때 쓸 수 있습니다.

자주 묻는 질문

각뿔대의 부피는 어떻게 구하나요?

큰 각뿔의 부피에서 잘라 낸 작은 각뿔의 부피를 뺍니다. 예를 들어 밑면이 한 변 6인 정사각형이고 높이가 8인 사각뿔에서 위쪽의 높이 4인 사각뿔(밑면 한 변 3)을 잘라 내면 ⅓ × 36 × 8 − ⅓ × 9 × 4 = 96 − 12 = 84입니다.

원뿔에서 높이와 모선의 길이는 어떻게 다른가요?

높이는 꼭짓점에서 밑면에 수직으로 내린 선분의 길이이고, 모선은 꼭짓점과 밑면의 둘레 위의 점을 이은 선분의 길이입니다. 부피에는 높이를, 옆넓이(전개도의 부채꼴 반지름)에는 모선을 씁니다.

반구의 겉넓이는 구의 겉넓이의 절반인가요?

아닙니다. 반구는 둥근 면(구의 겉넓이의 절반 2πr²)과 자른 면인 원(πr²)으로 둘러싸여 있으므로 겉넓이는 3πr²입니다. 자른 면을 빠뜨리는 실수가 많습니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.