중1 각기둥·각뿔의 겨냥도와 겉넓이·부피
삼각기둥·사다리꼴 기둥·정사각뿔·사각뿔대·잘라 낸 삼각뿔·부채꼴 기둥과 각기둥 전개도를 그립니다. 기둥과 뿔의 겉넓이·부피 공식이 나오는 과정과 각뿔대의 부피를 빼기로 구하는 방법을 정리했습니다.
개념 정리
기둥의 옆면을 펼치면 가로가 밑면의 둘레, 세로가 높이인 직사각형이 됩니다. 그래서 기둥의 겉넓이 = (밑넓이) × 2 + (밑면의 둘레) × (높이), 부피 = (밑넓이) × (높이) 입니다. 밑면이 부채꼴인 기둥도 같은 공식이고, 옆넓이에 곡면(호의 길이 × 높이)이 들어갑니다.
뿔의 부피는 밑넓이와 높이가 같은 기둥의 ⅓ 이므로 부피 = ⅓ × (밑넓이) × (높이) 입니다. 겉넓이는 밑넓이 하나와 옆면 삼각형들의 넓이를 더합니다. 정사각뿔은 옆면이 합동인 이등변삼각형 네 개입니다.
각뿔대의 부피는 (큰 각뿔) − (잘라 낸 작은 각뿔) 로 구합니다. 직육면체의 한 꼭짓점을 이웃한 세 꼭짓점을 지나는 평면으로 잘라 낸 삼각뿔은 밑넓이가 ½ab, 높이가 c이므로 부피가 ⅙abc, 직육면체의 ⅙ 입니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 삼각기둥: 밑면의 직각을 낀 두 변 3, 4, 빗변 5, 높이 6 → 겉넓이 84, 부피 36
- 정사각뿔: 밑면 한 변과 옆면 삼각형의 높이로 겉넓이, 각뿔의 높이로 부피
- 사각뿔대: 큰 각뿔과 작은 각뿔의 높이를 주고 부피를 빼기로 구하기
- 직육면체에서 잘라 낸 삼각뿔의 부피와 남은 부분의 부피
- 밑면이 부채꼴인 기둥, 각기둥의 전개도에서 옆면 직사각형의 가로 = 밑면의 둘레
이 도판은 7가지 보기로 그릴 수 있습니다: 삼각기둥, 사다리꼴 기둥, 정사각뿔, 사각뿔대, 직육면체에서 잘라 낸 삼각뿔, 밑면이 부채꼴인 기둥, 각기둥의 전개도.
예제 · 정사각뿔의 겉넓이와 부피
밑면의 한 변이 10 cm, 높이가 12 cm, 옆면인 삼각형의 높이가 13 cm인 정사각뿔의 겉넓이와 부피를 구하시오.
겉넓이 = 10² + 4 × (½ × 10 × 13) = 100 + 260 = 360 cm² 입니다.
부피 = ⅓ × 100 × 12 = 400 cm³ 입니다.
예제 · 잘라 낸 삼각뿔
가로 6 cm, 세로 4 cm, 높이 5 cm인 직육면체에서 한 꼭짓점과 이웃한 세 꼭짓점을 지나는 평면으로 삼각뿔을 잘라 냈다. 잘라 낸 삼각뿔과 남은 입체의 부피를 구하시오.
삼각뿔 = ⅓ × (½ × 6 × 4) × 5 = 20 cm³, 남은 입체 = 120 − 20 = 100 cm³ 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 입체도형 단원(서비스의 중1 분류) 문제지는 피타고라스 정리를 배우기 전에 쓰므로 삼각기둥의 빗변, 사다리꼴의 다리, 옆면 삼각형·사다리꼴의 높이는 기본으로 그림에 씁니다. 이 길이를 지우면 겉넓이를 구할 수 없게 됩니다.
- 사각뿔대 보기의 "잘라 낸 작은 각뿔(점선)"은 기본으로 꺼져 있습니다. 부피를 빼기로 구하는 문제에서는 켜고, 두 각뿔의 높이를 문제 글에 함께 줍니다.
- 잘라 낸 삼각뿔 보기는 자르는 꼭짓점(C, B, F, A)을 고를 수 있습니다. 같은 직육면체로 여러 문항을 만들 때 꼭짓점만 바꿉니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 뿔의 부피에서 ⅓ 을 빠뜨리거나, 기둥의 부피에 ⅓ 을 곱합니다.
- 정사각뿔의 겉넓이에 각뿔의 높이를 넣습니다(옆면 삼각형의 높이를 써야 합니다).
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.