중1 구멍이 뚫린 입체도형의 겉넓이와 부피
직육면체·원기둥 모양 구멍이 뚫린 직육면체, 속이 빈 원통, ㄱ자 모양 밑면의 기둥을 그립니다. 부피는 빼고 겉넓이는 구멍 입구를 빼고 안쪽 옆면을 더하는 원리를 예제와 함께 정리했습니다.
개념 정리
구멍이 뚫린 입체의 부피 = (전체 입체의 부피) − (구멍의 부피) 입니다. 구멍도 기둥 모양이므로 (구멍의 밑넓이) × (구멍의 길이)를 뺍니다.
겉넓이는 한 번에 빼면 틀립니다. (원래 겉넓이) − (구멍 입구 두 개) + (구멍 안쪽의 옆넓이) 로 계산합니다. 구멍을 뚫으면 앞뒤 면에서 입구만큼 넓이가 없어지고, 대신 구멍 안쪽 벽이 새로 겉면이 됩니다.
속이 빈 원통은 밑면이 고리 모양인 기둥으로 봅니다. 밑넓이 π(R² − r²), 옆넓이는 바깥 2πRh 와 안쪽 2πrh 의 합입니다. ㄱ자 모양 밑면의 기둥은 밑면의 둘레가 바깥 직사각형의 둘레와 같다(꺾인 변을 옮기면 직사각형이 됨)는 점을 쓰면 옆넓이가 빨리 나옵니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 직육면체 구멍: 8 × 6 × 6 직육면체에 4 × 3 구멍 → 겉넓이 264 − 24 + 84 = 324, 부피 288 − 72 = 216
- 원기둥 구멍: 겉넓이가 (정수) + (π의 배수) 꼴로 나오는 문제
- 속이 빈 원통: 바깥 반지름·안쪽 반지름·높이로 겉넓이와 부피
- ㄱ자 모양 밑면의 기둥: 밑넓이를 두 직사각형으로 나누거나 큰 직사각형에서 빼서 구하기
이 도판은 4가지 보기로 그릴 수 있습니다: 직육면체 구멍, 원기둥 구멍, 속이 빈 원통, ㄱ자 모양 밑면의 기둥.
예제 · 원기둥 구멍이 뚫린 정육면체
한 모서리가 10 cm인 정육면체의 마주 보는 두 면 가운데를 반지름 2 cm인 원기둥 모양으로 뚫었다. 이 입체도형의 겉넓이와 부피를 구하시오.
겉넓이 = 600 − (π × 2²) × 2 + (2π × 2) × 10 = 600 − 8π + 40π = (600 + 32π) cm² 입니다.
부피 = 1000 − π × 2² × 10 = (1000 − 40π) cm³ 입니다.
예제 · 속이 빈 원통
바깥 반지름 5 cm, 안쪽 반지름 3 cm, 높이 10 cm인 원통의 겉넓이와 부피를 구하시오.
밑넓이 = 25π − 9π = 16π, 옆넓이 = 2π × 5 × 10 + 2π × 3 × 10 = 160π 입니다.
겉넓이 = 16π × 2 + 160π = 192π cm², 부피 = 16π × 10 = 160π cm³ 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- "밑면 색칠"은 기본으로 켜져 있어 어느 면이 밑면(기둥의 단면)인지 보입니다. ㄱ자 기둥처럼 밑면이 옆에 서 있는 그림에서 특히 도움이 됩니다.
- 구멍의 크기는 바깥 입체보다 작아야 하며, 원기둥 구멍의 지름이 가로·높이 이상이면 입력 단계에서 알려 줍니다.
- "길이 쓰기"를 끄고 문제 글에서 치수를 주면 그림이 단순해집니다. 반대로 치수가 많을 때는 켜 두고 문제 글을 줄입니다.
- 원문은 다면체를 볼록인 경우만 다루고, "복잡하게 변형된" 입체도형의 겉넓이와 부피를 구하는 문제는 다루지 않는다고 적고 있습니다(도형과 측정 고려 사항). 구멍 뚫린 입체와 ㄱ자 기둥은 볼록이 아니므로, 기둥 공식을 한두 번 더하고 빼면 되는 간단한 치수로만 만들고 다룰지는 쓰는 교과서로 확인합니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 겉넓이에서 구멍 입구만 빼고 안쪽 옆넓이를 더하지 않습니다.
- 원통의 옆넓이에서 안쪽 옆면을 빠뜨리거나, 밑넓이를 πR² − r² 처럼 π를 한쪽에만 붙입니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.