중1 구와 여러 가지 입체도형
구와 반구, 반구와 원뿔·원기둥을 붙인 입체, 구의 ¼을 잘라 낸 입체, 원기둥 안의 구를 그립니다. 구의 겉넓이·부피 공식과 붙이거나 잘라 낸 입체에서 빠뜨리기 쉬운 면을 정리했습니다.
개념 정리
반지름이 r인 구의 겉넓이는 4πr², 부피는 ⁴⁄₃πr³ 입니다. 구의 겉면을 끈으로 감으면 반지름이 r인 원 네 개를 덮는 양이 된다는 활동, 구가 꼭 맞게 들어가는 원기둥에 물을 채우고 구를 넣으면 ⅔ 가 넘친다는 활동으로 공식을 확인합니다.
밑면의 반지름이 r, 높이가 2r로 같은 원뿔과 원기둥, 반지름이 r인 구의 부피의 비는 원뿔 : 구 : 원기둥 = 1 : 2 : 3 입니다. 그래서 원기둥 안에 꼭 맞는 구를 넣으면 빈 공간은 원기둥 부피의 ⅓ 입니다.
반구의 겉넓이는 곡면 2πr² 에 자른 면(원) πr² 을 더해 3πr² 입니다. 두 입체를 붙이면 붙은 면은 겉넓이에서 빠지고, 잘라 내면 새로 생긴 면이 더해집니다. 구의 ¼을 잘라 내면 곡면은 ¾ 만 남고, 반원 두 개(합쳐서 원 하나)가 새로 생깁니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 구와 반구: 반지름 3 → 구의 겉넓이 36π, 부피 36π, 반구의 겉넓이 27π
- 반구 + 원뿔(아이스크림 모양): 반구의 곡면 + 원뿔의 옆넓이, 부피는 두 부피의 합
- 원기둥 + 반구(캡슐·사일로 모양): 밑면 하나 + 원기둥 옆넓이 + 반구의 곡면
- 구의 ¼을 잘라 낸 입체의 부피와 겉넓이
- 원기둥 안의 구 1~3개: 구의 부피의 합과 원기둥의 부피의 비는 항상 2 : 3
이 도판은 5가지 보기로 그릴 수 있습니다: 구와 반구, 반구 + 원뿔, 원기둥 + 반구, 구의 ¼을 잘라 낸 입체, 원기둥 안의 구.
예제 · 반구와 원뿔을 붙인 입체
반지름이 6 cm인 반구와 밑면의 반지름이 6 cm, 높이가 8 cm, 모선의 길이가 10 cm인 원뿔을 밑면끼리 붙였다. 이 입체도형의 겉넓이와 부피를 구하시오.
겉넓이 = 2π × 6² + π × 6 × 10 = 72π + 60π = 132π cm² 입니다(붙은 원은 넣지 않습니다).
부피 = ⅔ × π × 6³ + ⅓ × π × 6² × 8 = 144π + 96π = 240π cm³ 입니다.
예제 · 구의 ¼을 잘라 낸 입체
반지름이 4 cm인 구에서 ¼을 잘라 낸 입체의 부피와 겉넓이를 구하시오.
부피 = ⁴⁄₃π × 4³ × ¾ = 64π cm³ 입니다.
겉넓이 = 4π × 4² × ¾ + (반원 2개 = π × 4²) = 48π + 16π = 64π cm² 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 반구 + 원뿔 보기에서 원뿔의 높이(점선)는 기본으로 켜져 있습니다. 부피를 묻지 않고 겉넓이만 묻는다면 끄고 모선만 남깁니다.
- 원기둥 안의 구 보기는 구의 개수를 1~3개로 바꿉니다. 원기둥의 높이는 구의 지름 × 개수로 자동으로 맞춰집니다.
- 구의 ¼을 잘라 낸 입체는 잘린 두 반원 면이 음영으로 칠해져 새로 생긴 면이 구분됩니다. 겉넓이에서 이 두 면을 빠뜨리는 학생이 많으므로 풀이 때 그림으로 짚어 줍니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 반구의 겉넓이를 구의 겉넓이의 절반(2πr²)으로만 답하고 자른 면을 빠뜨립니다.
- 붙인 입체의 겉넓이에 붙은 면(원)까지 더합니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.