중1 회전체
직사각형·직각삼각형·사다리꼴·반원을 한 직선을 축으로 회전시킨 회전체와, 축에서 떨어진 직사각형이 만드는 원통, 회전체의 단면을 그립니다. 단면의 모양과 원통의 부피·겉넓이를 정리했습니다.
개념 정리
평면도형을 한 직선 l을 축으로 1회전 시켜 얻은 입체도형을 회전체, 직선 l을 회전축이라 합니다. 직사각형은 원기둥, 직각삼각형은 원뿔, 사다리꼴(두 밑각 중 하나가 직각)은 원뿔대, 반원은 구가 됩니다. 원기둥·원뿔·원뿔대의 옆면을 만드는 선분을 모선이라 합니다.
회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자르면 단면은 항상 원입니다. 회전축을 포함하는 평면으로 자르면 단면은 회전시킨 도형과 그것을 축에 대해 대칭시킨 도형을 합친 모양이므로 회전축에 대한 선대칭도형이 됩니다. 원뿔은 이등변삼각형, 원기둥은 직사각형, 원뿔대는 사다리꼴, 구는 원입니다. 원문은 회전체 단면의 모양을 "회전체의 성질을 이해하는 데 필요한 정도로" 다룬다고 적고 있으므로([9수03-07] 해설), 단면은 모양을 알아보는 데 중심을 둡니다.
직사각형이 회전축에서 떨어져 있으면 가운데가 빈 원통이 됩니다. 축과의 거리가 a, 직사각형의 가로가 b, 높이가 h이면 부피는 π(a + b)²h − πa²h 이고, 겉넓이는 위아래 고리 두 개와 바깥 옆면, 안쪽 옆면을 모두 더합니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 평면도형과 회전축을 보고 회전체의 겨냥도 고르기(직각삼각형을 어느 변을 축으로 돌리는지에 따라 반지름과 높이가 바뀜)
- 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면의 넓이: 밑면의 반지름 3, 높이 4인 원뿔이면 밑변 6, 높이 4인 이등변삼각형이라 넓이 12
- 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면: 어느 높이에서 잘라도 원이 됨을 확인하고, 원기둥처럼 단면의 반지름이 밑면과 같은 경우 단면의 넓이 구하기
- 축에서 떨어진 직사각형을 회전시킨 원통의 부피와 겉넓이
이 도판은 6가지 보기로 그릴 수 있습니다: 직사각형, 직각삼각형, 사다리꼴, 반원, 축에서 떨어진 직사각형, 회전체의 단면.
예제 · 축에서 떨어진 직사각형
가로 3 cm, 세로 5 cm인 직사각형이 회전축 l과 평행하게 2 cm 떨어져 있다. 이 직사각형을 l을 축으로 1회전 시킨 입체도형의 부피와 겉넓이를 구하시오.
바깥 반지름은 2 + 3 = 5, 안쪽 반지름은 2, 높이는 5 입니다.
부피 = π × 5² × 5 − π × 2² × 5 = 125π − 20π = 105π cm³ 입니다.
겉넓이 = (25π − 4π) × 2 + 2π × 5 × 5 + 2π × 2 × 5 = 42π + 50π + 20π = 112π cm² 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 문제지 기본은 평면도형과 회전축만 그리고 회전체는 그리지 않습니다. 겨냥도를 고르게 하는 문제라면 이대로 쓰고, 풀이지에서 "회전한 입체도형도 그리기"를 켭니다.
- "회전체의 단면" 보기는 자를 회전체와 자르는 평면(축 포함·축에 수직)을 고릅니다. 단면의 실제 모양은 답에 해당하므로 기본으로 그리지 않습니다.
- 회전 방향 화살표는 켜 두는 편이 좋습니다. 축이 어느 선인지 학생이 헷갈리지 않습니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 회전축을 포함하는 단면에서 회전시킨 도형 한 쪽만 그려 넓이를 절반으로 구합니다.
- 원통의 겉넓이에서 안쪽 옆면을 빠뜨립니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.